0.   引　言

随着当前各国对海洋权益的重视和海运事业的发展，未来一段时间舰船数量将呈现井喷式增长，科学合理地规划保障资源尤为重要^[1]。船坞是舰船维修保障资源的主要内容，是实施舰船维修的重要场所，所有计划维修、重要的临抢修以及水线以下的维修作业，均需要安排在船坞进行^[2]。船坞的规划与建设需综合考虑选址、潮位、进出航道、配套设施、维修需求、安全保密以及经济性等因素^[3-4]。科学预测未来船坞数量需求，避免资源不足与浪费，对保障能力建设规划、提升舰船保障能力和保障效率具有重要意义^[4]。

在舰船装备保障资源需求评估研究领域，国内常采用结构化、半结构化的定量分析法，或基于层次分析的综合评估法等^[5-11]。这些方法的缺点是其评估模型一般基于装备的可靠性信息、使用信息、大数据统计信息，或过于依赖专家的意见等，限制了工程应用范围。

马尔科夫理论是现代概率论随机过程的重要分支，广泛应用于通信、控制、社会科学等技术领域，具有良好的数学基础，至今仍为国内外学者研究的热点^[12-13]。马尔科夫过程方法基于运筹学中的排队论原理，用于随机事件概率分析，考虑事件可能存在的多个状态及转化，通过建立状态转移数学微分方程，为科学决策提供量化支持。舰船排队进坞维修的状态转化物理过程，具有马尔科夫过程属性，本文拟探讨将马尔科夫过程方法应用于舰船维修船坞数量需求评估，通过建立数学建模和案例分析，验证评估模型和方法的有效性，期望为船坞规划和发展提供理论支撑。

1.   进坞维修流程物理模型

舰船在海上执行任务时，小故障由船员进行处理，遇到无法解决的故障时需返回母港进坞维修。若需返港维修的舰船多于船坞数量，将出现舰船排队待修的情况，直到某船坞腾空为止。可见舰船的返港维修需求和船坞修复强度，决定了待修舰船排队状态。排队过程中，不断有舰船进坞和修后出坞，船坞占用或释放状态处于动态变化中。

为建立船坞数量需求评估数学模型，本文基于舰船维修的实际流程，定义船坞维修物理模型如图1所示，并将其称之为舰船船坞使用系统。

图  1  船坞使用系统简化图

Figure  1.  Queuing model of docking system

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由图1可见，模型由4个要素组成。样本需求（Ⅰ）指从海上返回亟需维修的舰船，待修队列（Ⅱ）指在码头排队等待进坞维修的舰船装备，维修通道（Ⅲ）指配置的维修船坞，修后恢复（Ⅳ）指舰船完成维修后出坞。

例如，假设系统中有m艘舰船处于亟修状态（样本需求），而码头有n个船坞（维修通道），每一艘舰船在任意时刻都可能返回维修。当m>n时，即系统中舰船数量大于船坞，船坞则被全部占用，部分舰船处于排队等待状态，直到其中1艘舰船完成维修后出坞。

2.   船坞需求的马尔科夫预测模型

2.1   马尔科夫过程

马尔科夫过程主要考察系统各个状态之间的转移规律，在诸多领域中具有广泛的应用^[13]。本文探索将马尔科夫过程应用于舰船维修船坞最优数量方案评估。如前所述马尔科夫过程是一种典型的随机过程，可以表述为：具有连续性和状态空间ψ={0，1, 2···，r}的随机过程{$X(t)$}。假设在s时刻该过程的状态为$X(s) = i$，那么在s+t时刻状态为j的概率满足式(1)：

式中：{$X\text{(}u\text{)}=x\text{(}u\text{), 0}\le u< s$}为该过程在时刻s以前的“历史”状态；$X{\text{(}}u{\text{)}}$为u时刻的随机事件；$x{\text{(}}u{\text{)}}$为u时刻随机事件的某个具体状态。式（1）表示系统在时刻s以后的状态与s以前的状态无关，具有该性质的随机过程$X{\text{(}}t{\text{)}}$称之为具有马尔科夫性或 “无后效性”、“无记忆性”。

2.2   船坞使用系统的马尔科夫模型建立

假设由m艘舰船和n个船坞维修通道组成的船坞使用系统，系统中舰船的数量大于维修通道数量（m>n），系统可能会处于下列状态之一：

1）${x_{\text{0}}}$：所有舰船在海上，船坞维修通道为空；

2）${x_k}$：有k艘舰船从海上返回船坞维修，m-k艘舰船在海上（1≤k≤n）；

3）${x_n}$：n艘舰船从海上返回船坞维修，所有维修通道被占用；

4）${x_m}$：所有舰船返回船坞维修，其中n艘进行维修，n-m艘舰船处于排队等待状态。

因此，舰船船坞使用系统有m+1个离散状态，系统处于其中某一种状态。系统中舰船进坞和出坞均会使得状态改变，不考虑同时有2艘舰船进出同一个船坞的极小概率事件，则系统紧后状态仅与本状态有关、与紧前状态无关，因此认为船坞使用系统状态变化具有马尔科夫属性，可应用马尔科夫状态转移微分方程建模反映系统的状态转移规律^[14-15]。

为了更好的理解系统状态变换的思想，本文首先引入简化模型，分析舰船可能存在的两种状态，即舰船可能在海上（${x_{\text{0}}}$）或者在维修基地（${x_{\text{1}}}$），系统状态转化如图2所示。

图  2  简化模型状态转移图

Figure  2.  Simple model of state transition

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系统以强度λ₀₁从状态${x_{\text{0}}}$变换到状态${x_1}$，或以强度λ₁₀从状态${x_{\text{1}}}$变换到状态${x_{\text{0}}}$，因此系统状态概率变化满足如下方程：

式中：${P_0}(t = 0) = 1$，表示t=0时刻有1艘船时，船坞空（P₀）的状态概率为1；${P_1}(t = 0) = 0$，表示 t=0，船坞有1艘船（P₁）的状态概率为0。方程组描述的是非稳定工况，为了得到稳定工况，可取系统方程对时间的微分并令其为零，则方程组可用式(4)表达：

求解式（4）可以得到系统的状态概率，然后利用其结果进行评价指标计算分析。参照上述简化模型系统状态转移分析方法， m艘舰船和n个船坞维修通道组成的船坞使用系统，可建立如图3所示的状态转移图，其中k表示系统内有k艘船在坞维修。

图  3  舰船进出坞状态转移图

Figure  3.  Ship docking state transition diagram

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假定系统中有m艘舰船，每一艘舰船的维修需求强度恒定为λ，即λ为常数；每一艘舰船可能在若干个维修通道中的任一通道得到维修，每个通道中舰船的修复强度恒定为μ，即μ为常数。系统从一个状态变换到另一个状态时，从左向右看，需要维修的舰船样本需求与舰船数量成比例，从mλ变换到λ；从右向左看，在${x_n}$状态之前修复强度为nμ，而在状态${x_n}$到${x_0}$之间，修复强度则与占用的通道成比例，从nμ变换到μ。

为了定量描述舰船船坞使用系统状态，可用状态概率P_i表示系统处于状态${x_i}$的概率：

参考式（2）给出的分析方法，结合系统状态转移图，可构建如下系统状态转移方程：

其中，P_k为k艘船需进坞维修的状态概率。由图3所示的状态转移关系可见，式（7）中$k = 1,2,\cdots ,n - 1$；P_n为n艘船需进坞维修的状态概率，此时船坞刚好全部被占用；当有更多船需进坞维修时的系统状态概率为P_n+z。由图3的状态转移关系可见，对于式（9），${P_{n + {\textit{z}}}}$为${P_m}$之前的状态，即n+z的最大值为m−1，故z的最大值为m-n-1；当所有舰船回港维修时，系统状态为${P_m}$，存在式（10）所示关系。

在初始时刻，系统中的所有维修通道都是空的，所以微分方程的初始条件为

式（12）给出了所有状态概率，即${P}_{0}\left(t\right)， {P}_{1}\left(t\right)，\cdots ，{P}_{k}\left(t\right)，\cdots ，{P}_{n}\left(t\right)$。系统状态概率是时间的函数，在分析过程中，通常采用状态概率的极限值表示，即${P}_{0}，{P}_{1}，\cdots ，{P}_{k}，\cdots ，{P}_{n}$。

所有通道空闲时的状态概率可由式（13）确定：

其中，$\rho = {\lambda \mathord{\left/ {\vphantom {\lambda \mu }} \right. } \mu }$。

当系统中有k艘舰艇处在维修状态时，其概率为

2.3   评价指标

为了对舰船船坞使用系统的过程特性进行定量分析，定义如下评价指标：

1） 等待维修的平均舰船数${M_0} = \sum\limits_{k = n + 1}^m {(k - n){P_k}}$；

2） 舰船等待服务系数${K_{np}} = \dfrac{{{M_0}}}{m}$；

3） 平均维修和等待维修舰船数$M{}_{o\delta } = \sum\limits_{k = 1}^m {k{P_k}}$；

4） 平均占用维修通道数${N_3} = \sum\limits_{k = 1}^n {k{P_k}} + \sum\limits_{k = n + 1}^m {(k - n){P_k}}$；

5） 维修通道占用系数${K_3} = \dfrac{{{N_3}}}{n}$；

6） 维修通道平均空闲数${N_{cb}} = \sum\limits_{k = 1}^n {(n - k)} {P_k}$；

7） 维修通道空闲系数$K_{np}'= \dfrac{{{N_{cb}}}}{n}$。

结合系统状态概率，按如下分析流程，对船坞指标进行计算分析，通过评价指标反映最优船坞数量，为科学决策提供量化支持：

1） 基于用装单位对舰船数量使用情况，结合装备的进坞维修和修复强度估计，给出舰船数量m、维修需求强度λ和修复强度μ，并假设系列船坞数量为n；

2） 建立马尔科夫预测分析模型，对一系列连续船坞数量进行系统建模计算；

3） 评估不同船坞数量下的评价指标特征，为决策分析提供量化支持。

3.   案例分析

在最优任务决策中，通过改变维修通道数量选择最优方案。假设舰船母港有8艘舰船需要维修保障，分别计算用于维修的舰船船坞数量为n=1，2，3，4。统计每艘舰船两次入坞维修时间间隔，假定有200天、120天和90天3种情形，即单位时间内舰船进坞维修强度为λ₁=0.005、λ₂=0.008、λ₃=0.011；同时假定单个船坞维修时间为45天，即单位时间内船坞的修复强度μ=0.022。

案例分析以舰船船坞使用系统（m=8，n=1）为例，系统状态转移方程组可表示为：

分别代入参数λ₁，λ₂，λ₃和μ，通过Matlab程序计算概率P_i。同理，假设n=2，3，4，求解相应系统状态方程，可得出各离散状态概率下，不同舰船维修需求强度（λ）、不同船坞数量（n）条件下的系统概率分布曲线，如图4至图6所示。

图  4  船坞使用系统概率分布（λ=0.005）

Figure  4.  Docking system state probability (λ=0.005)

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图  5  船坞使用系统概率分布（λ=0.008）

Figure  5.  Docking system state probability (λ=0.008)

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图  6  船坞使用系统概率分布（λ=0.011）

Figure  6.  Docking system state probability (λ=0.011)

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由图4至图6可知，大量和少量舰船在船坞排队维修的系统状态概率均较小，系统最大概率取决于船坞和舰船数量。船坞数量越多，系统最大概率状态对应的待修舰船数量越小，反映了船坞数量增加对减少舰船排队等待检修的概率，与船坞实际使用情况一致，说明马尔科夫船坞需求预测模型适用性好。

根据前文所述的评价指标，可对舰船船坞使用系统进行定量分析，结果如表1所示。

表  1  船坞使用系统评价指标

Table  1.  Docking system evaluation indexes

n	λ	指标
		${M_{\text{0}}}$	${K_{np}}$	${M_{O\delta }}$	${K_{\text{3}}}$	${Ｎ}_{cb}$	$K_{np}^{^\prime }$
1	0.005	2.84	0.355	3.795	2.920	0.044	0.044
	0.008	4.27	0.534	5.264	4.285	0.005	0.005
	0.011	5.003	0.625	6.002	5.006	0.001	0.001
2	0.005	0.539	0.067	1.921	0.982	0.751	0.375
	0.008	1.417	0.177	3.172	1.312	0.340	0.170
	0.011	2.278	0.285	4.185	1.627	0.139	0.070
3	0.005	0.088	0.011	1.553	0.452	1.704	0.568
	0.008	0.336	0.042	2.380	0.580	1.369	0.456
	0.011	0.719	0.090	3.146	0.641	0.955	0.318
4	0.005	0.012	0.001	1.491	0.363	2.249	0.562
	0.008	0.063	0.008	2.18	0.496	2.368	0.592
	0.011	0.171	0.021	2.781	0.573	2.179	0.545

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分析平均待维修舰船数${M_{\text{0}}}$可知，不同维修船坞数量和待维修舰船数量条件下，评估指标对比如图7所示。

图  7  待维修舰船平均数指标

Figure  7.  Mean value of docking queue state vessels

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由图7可见，当船坞数量为3，排队待修平均舰船数量小于1时，对舰船执行任务的影响最小且没有造成保障资源的大量浪费，可认为最优的维修船坞需求数量为3。同样对其他评价指标进行了分析评判，得到了类似结论。基于工程经验认为，本文预测结果与工程实际相吻合，可为决策提供有效理论支撑。

4.   结　语

本文将马尔科夫过程特点应用于舰船维修船坞最优数量评估，通过分析舰船船坞维修过程，应用马尔科夫过程的数学性质，建立了舰船船坞数量评估模型和评价指标体系。案例分析表明，本文建立的数学模型分析结论与实际情况吻合性好，对船坞设施建设规划的决策分析有一定指导价值。

由于马尔科夫过程方法在国内舰船综合保障领域研究较少，本文对该方法的理解和应用研究尚浅。例如，模型对计划维修与临抢修差异性考虑不足，评价指标标准不够完善，有必要对评估模型或评价指标等方面进一步深入研究。期望本研究起到抛砖引玉作用，引导该领域科研人员深入探究，丰富我国舰船装备技术保障数学理论，更好地指导工程实践。