0.   引　言

近年来，随着通信技术和嵌入式系统性能的快速提高，推动了无人船（USV）、无人机（UAV）和移动机器人（Mobile Robot, MR）等智能化设备的不断发展。无人船作为一种新兴的水面无人平台,得到了广泛研究^[1-5]。迄今，单个无人船已可完成目标及路径跟踪和避障等任务，但面对复杂的海情，尤其是在执行军事、救援和鱼群探测等任务时，对无人船的作业效率和快速性提出了更高要求，单个无人船的能力和效率一般难以满足需要^[6-9]，而需要多个无人船或集群共同执行特定的作业任务。因此，为使无人船满足更高的应用要求，开展无人船编队的协同控制及提高智能化水平有着重要意义^[10-11]。

目前，在无人船编队控制领域已开发了许多控制方法，其中具代表性的有基于图论的方法^[12-13]、虚拟结构法^[14]、领导跟随法^[15]和人工势场法^[16]等。上述方法中，基于图论的方法已得到深入研究。根据领导者类型，编队控制方法通常分为2种：一种是由轨迹导引的协同控制，另一种是由路径导引的协同控制，后者的突出优势是空间约束和时间约束可以解耦^{[5, 17]}。此外，对于编队控制问题，还开展了许多分布式会聚和分布式编队控制研究。基于上述研究，编队队形可由编队跟踪控制器来决定，具体模式包括分布式编队避碰跟踪、领导跟随等^[18-21]。对于无人船集群的分布式编队控制，目前的主要研究方向是多个领航者导引的非时变队形控制，其不足之处在于，根据给定的通信拓扑只能保持队形固定，不能应需而变，即在需求改变时，需要改变拓扑结构才能实现期望的效果，缺乏灵活性。与非时变队形控制相比，多领航者导引的分布式时变队形控制方法既可使多个USV保持固定队形，也可产生时变队形，使其具有了队形灵活易变、操作简单等特点。若不执行任务，在多领航者的导引下，无人船集群可以采取固定的队形编队；若任务需求改变，则无需改变拓扑结构即可变换为所需的队形。

本文将主要研究含有模型不确定性和未知海洋环境扰动的欠驱动USV集群在多领航者导引下的分布式时变编队控制问题。首先，在运动学层级，基于包含策略和操纵性原理，设计分布式时变队形制导律，通过USV间及USV与领航者间的信息传递关系设计基本队形，该制导律根据邻居信息（位置、前向速度和航向），在给定的时变输入信号下，计算出跟随船期望的航向及前向速度；然后，在动力学层级，基于扩张状态观测器（ESO），设计USV的前向速度和艏摇角速度控制律，以减小模型不确定性和未知海洋环境扰动带来的影响；最后，通过对级联系统稳定性的分析，证明无人船集群时变编队闭环控制系统输入状态的稳定性，并通过仿真验证方法的有效性。

1.   问题描述

如图1所示，本文考虑由M个双桨USV和N～M个虚拟领航者组成时变编队系统。图中：${{p}_{i}} = \left( {{x_i},\;{y_i}} \right)$，为第$i \in M$个USV在NED（North-East-Down）坐标系${X_{\rm{E}}} - {Y_{\rm{E}}}$下的位置坐标；${\varphi _i}$为第$i$个USV在NED坐标系下的航向角；${\theta _k}$为第$k \in [M + 1,N]$条参数化路径的参数变量。

图  1  时变编队系统结构

Figure  1.  System structure of time-varying formation

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第i个USV的运动学可用式（1）所示的状态方程表示^[22]。

式中，${u_i}$，${\nu _i}$和${r_i}$分别为船体坐标系（Body-Fixed Reference Frame）${X_{\rm{B}}} - {Y_{\rm{B}}}$下第i个USV的前向速度、侧向速度和艏摇角速度。

根据无人船在水面航行时的水动力学方程，可得USV的动力学方程如式(2)所示^[23]。

式中：$m_i^u$，$m_i^\nu$和$m_i^r$为第i个USV的惯性系数；$f_i^u\left( \cdot \right)$，$f_i^\nu \left( \cdot \right)$和$f_i^r\left( \cdot \right)$为第i个USV模型的不确定性带来的扰动项；$\tau _{i{\rm{d}}}^u\left( t \right)$，$\tau _{i{\rm{d}}}^v\left( t \right)$和$\tau _{i{\rm{d}}}^r\left( t \right)$分别为第i个USV在前向速度u、侧向速度v和艏摇角速度r方向上的时变外部扰动项；$\tau _i^u$和$\tau _i^r$分别为第 i 个USV的浪涌力和偏航控制输入。

本文研究的欠驱动USV由双桨推进、通过螺旋桨在不同控制输入下的转速差提供转向。因双桨固定的无人船前向速度和艏摇角速度控制耦合在一起，为简化控制器的设计，对这两个参数的控制输入予以了解耦，即将USV的左、右两个螺旋桨控制输入$\tau _i^{\rm{L}}$和$\tau _i^{\rm{R}}$进行了拆分^[24]，如式(3)所示。

式中：$\epsilon$为推力减额因数；d为两个螺旋桨之间的距离。

本文研究中，为实现虚拟领航者的导引作用，需使其沿已知参数化路径移动，故参数化路径在t时刻的位置即为虚拟领航者的位置，设第k个虚拟领航者参数化路径为p_kr(θ_k(t)) = col(x_k(θ_k) , y_k(θ_k)), k = M + 1, ..., N，其中，${\theta _k}$，${x_k}\left( {{\theta _k}} \right)$，${y_k}\left( {{\theta _k}} \right)$为第k个领航者路径参数。为实现USV与虚拟领航者的协同运动，将第k个虚拟领航者路径参数的导数设计为

式中：${u_0}$为路径参数期望的更新速率；${\eta _k}$为USV与虚拟领航者间的协同参数。

为实现多领航者导引无人船集群的分布式时变队形控制，假设如下：

假设1：每个USV至少存在一条由虚拟领航者到该USV的有向通路，并能够获取一个时变输入信号；虚拟领航者间能相互通信。

假设2：参数化路径${{p}_{k {\rm {r}} }}\left( {{\theta _k}\left( t \right)} \right)$及其一阶偏导${\dot{ p}_{k {\rm {r}}}}\left( {{\theta _k}\left( t \right)} \right)$是有界的。

若要使USV运动过程实现期望的控制效果，则需满足如下控制目标：

1）几何目标：使每个USV按式(5)以一个时变位置偏差${{p}_{i{\rm{d}}}}\left( t \right)$会聚到与虚拟领航者张成的凸包内一点，从而形成期望的分布式时变队形。

式中：${{p}_i}\left( t \right)$为t时刻第i个USV在NED坐标系下的位置坐标；${\lambda _k} \geqslant 0$，为第i个USV与第k个领航者之间的权重系数，且满足$\sum\limits_{k{\rm{ = }}M + 1}^N{{\lambda _k}} {\rm{ = }}1$；${\delta _1}$为大于0的正数；给定时变偏差信号${{p}_{i{\rm{d}}}}\left( t \right){\rm{ = col}}( {x_{i{\rm{d}}}}\left( t \right),$${y_{i{\rm{d}}}}\left( t \right) ),\;i = 1, \ldots ,M$，为第i个USV与虚拟领航者张成的凸包内一点的时变位置偏差，其中${x_{i{\rm{d}}}}\left( t \right),\;$${y_{i{\rm{d}}}}\left( t \right)$分别为NED坐标系下沿${X_{\rm{E}}}$和${Y_{\rm{E}}}$方向的分量。

2） 动态目标：各虚拟领航者按式(6)以给定参数更新速率${u_0}$移动来实现期望的编队结构。

式中：$k,l{\rm{ = }}M + 1, \ldots ,N$，且$k \ne l$; ${\theta _l}(t)$为第l个虚拟领航者的路径参数；${\delta _2},\;{\delta _3} \in {\bf R}^+$，分别为某个大于0的正数。

2.   控制器设计

本节主要从动力学和运动学层面介绍设计的无人船时变编队控制器。图2所示为组成控制器的级联系统结构。

图  2  时变编队系统结构

Figure  2.  System structure of time-varying formation

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2.1   运动学控制器

根据包含策略和路径的操纵原理，定义第i个USV在NED坐标系下的操纵误差${{e}_i}$，即

式中：${e_{ix}}$和${e_{iy}}$分别为在NED坐标系下沿${X_{\rm{E}}}$和${Y_{\rm{E}}}$方向上的误差；当第i个USV可以获得第j个USV的信息时，${a_{ij}}{\rm{ = }}1$，否则，${a_{ij}}{\rm{ = 0}}$；当可以获得第k个虚拟领航者的信息时，${a_{ik}}{\rm{ = }}1$，否则，${a_{ik}}{\rm{ = 0}}$；${{p}_{ij{\rm{d}}}} = {{p}_{i{\rm{d}}}} - {{p}_{j{\rm{d}}}}$，为第i个与第j个USV间给定的时变位置偏差信号。

根据式(1) USV运动状态方程与虚拟领航者参数更新律式(4)，对操纵误差${{e}_i}$求偏导，可得

式中：${{g}_u}\left( {{\varphi _i}} \right) = {\rm{col}}\left( {\cos \left( {{\varphi _i}} \right),\sin \left( {{\varphi _i}} \right)} \right)$, ${{g}_v}\left( {{\varphi _i}} \right) =$${\rm{col}}\left( { - \sin \left( {{\varphi _i}} \right),\cos \left( {{\varphi _i}} \right)} \right)$, $i = 1, \ldots ,M$, ${c_i} = \sum\limits_{j = 1}^N{{a_{ij}}}$。

为稳定式(8)的操纵误差${{e}_i}$，设计了如式(9)所示的分布式时变队形制导律。

式中：$u_i^{\rm{*}}$和$\varphi _i^{\rm{*}}$分别为第i个USV期望的航向及前向速度；${{K}_{{\rm{c}}i}}{\rm{ = diag}}\left\{ {{k_{{\rm{c}}i1}},} \right.$$\left. {{k_{ci2}}} \right\} \in {{\bf R} ^{2 \times 2}}$，为运动学增益矩阵; ${\delta _{i1}} \in {\bf R}$，为防止前向速度饱和的参数。

根据式(9)，第i个USV期望的前向速度和航向角分别为

为使USV与虚拟领航者协同运动，将协同参数${\eta _k}$设计为

式中：${\varsigma _k}$为协同增益常数; ${\sigma _k}$为协同误差，并分为2个部分：${\sigma _{k1}} =\sum\limits_{k = M + 1}^N{{a_{ik}}\dot{ p}_{k {\rm {r}}}^{\rm{T}}} {{e}_i}$，表示虚拟领航者根据USV的信息计算出的路径更新速度，${\sigma _{k2}} =$$\sum\limits_{l = M + 1}^N {{a_{kl}}\left( {{\theta _k} - {\theta _l}} \right)} {\rm{ + }}{a_{k0}}\left( {{\theta _k} - {\theta _0}} \right)$，表示当第k个虚拟领航者可以获得超级领航者的路径信息时，${a_{k0}}{\rm{ = }}1$，否则${a_{k0}}{\rm{ = 0}}$，而${\theta _0}$为超级领航者的路径更新参数，且${\dot \theta _0}{\rm{ = }}{u_0}$。

定义全局路径变量协同误差${\theta _{k{\rm{e}}}} = {\theta _k} - {\theta _0}$，且满足

令全局路径变量协同误差向量${{\theta }_{\rm{e}}} =$ ${\rm{col}}\left( {{\theta _{\left( {M + 1} \right){\rm{e}}}}, \ldots ,{\theta _{N{\rm{e}}}}} \right)$，局部路径变量协同误差向量${z} = {\rm{col}}\left( {{z_{M + 1}}, \ldots ,{z_N}} \right)$，且满足${z} = {C}{{\theta }_{\rm{e}}}$，${C}{\rm{ = }}{{A}_0}{\rm{ + }}{{B}_0}$。其中${{A}_0}{\rm{ = }}\left[ {{a_{ij}}} \right] \in {{\bf R} ^{\left( {N - M} \right)\left( {N - M} \right)}}$，为虚拟领航者间的通信矩阵，当第i个领航者可以获得第j个的信息时，${a_{ij}}{\rm{ = }}1$，否则，${a_{ij}}{\rm{ = 0}}$；${{B}_0}{\rm{ = diag}}\left\{ {{a_{\left( {M + 1} \right)0}}, \ldots ,{a_{N0}}} \right\}$，为领航者方阵。

将式(9)代入式(8)和式(12)，可得到运动学系统的动态误差，分别表示如下：

式中，${{\varDelta }_{i{\rm{e}}}} = {u_i}{{g}_u}\left( {{\varphi _i}} \right) - u_i^{\rm{*}}{{g}_u}\left( {\varphi _i^{\rm{*}}} \right)$，为动力学跟踪误差向量。

2.2   动力学控制器

在2.1节中，基于包含策略和路径操纵原理，为多个USV设计了期望的航向及前向速度。本节将使用ESO来估计模型的不确定性和未知海洋环境的扰动，然后在此基础上，设计ESO动力学控制律，使USV的实际速度和航向可以满足期望值的要求。

由于采用的USV属于欠驱动无人系统，故为简化ESO设计，将式(2)改写为如下形式：

式中，$h_i^u\left( {{u_i},{r_i},t} \right)={{\left( {f_i^u\left( {{u_i},{v_i},{r_i}} \right)+\tau _{i{\rm{d}}}^u\left( t \right)} \right)}/{m_i^u}}$，$h_i^r\left( {{u_i},{r_i},t} \right)=$${{\left( {f_i^r\left( {{u_i},{v_i},{r_i}} \right) + \tau _{i{\rm{d}}}^r\left( t \right)} \right)}/{m_i^r}}$，均为未知函数。

对ESO的设计分析作出如下假设：

假设3：$h_i^u$和$h_i^r$（模型不确定性和未知环境扰动产生的扰动项）的导数有界且满足$\left| {\dot h_i^u} \right| + \left| {\dot h_i^r} \right| \leqslant h_i^*$，其中$h_i^*$为一个任意正数。

1） 前向速度控制律的设计。由于USV模型存在不确定性和未知的海洋环境扰动，故设计了如下式的二阶ESO系统来估计未知量$h_i^u$。

式中，$\mu _{i1}^u,\mu _{i2}^u \in {{\bf R} ^ + }$，为ESO观测器增益；${\hat u_i}$，$\hat h_i^u$分别为${u_i}$和$h_i^u$的估计值；${\tilde u_i} = {\hat u_i} - {u_i}$，为前向速度的估计误差。定义$h_i^u$的估计误差为$\tilde h_i^u = \hat h_i^u - h_i^u$, 结合式(14)和式(15)，得到如下二阶ESO的动态误差表达式。

令期望前向速度的跟踪误差为$\hat u_i^{\rm{*}}{\rm{ = }}{\hat u_i} - u_i^{\rm{*}}$，对$\hat u_i^{\rm{*}}$求导，则有

根据式(15)，设计如式(18)所示的前向速度自抗扰控制律来稳定$\dot {\hat u}_i^{\rm{*}}$：

式中，$\mu _{i{\rm{c}}}^u \in {{\bf R}^ + }$，为一个动力学增益常数；${\delta _{i2}} \in \bf R$，为一个正数。结合式(17)和式(18)，得到$\hat u_i^{\rm{*}}$的动态形式为

将式(16)改写为矩阵形式：

式中，${{E}_{i1}} = {\rm{col}}\left( {{{\tilde u}_i},\;\tilde h_i^u} \right)$，${{B}_{i1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \mu _{i1}^u}&1\end{array};\begin{array}{*{20}{c}}{ - \mu _{i2}^u}&0\end{array}} \right]$，${{C}_{i1}} = {\rm{col}}\left( {0, \;- 1} \right)$。因${{B}_{i1}}$为赫尔维茨矩阵，故存在一个正定矩阵${{P}_{i1}}$使${{B}_{i1}}$满足如下不等式。

式中：${\xi _{i1}}$为一个正数；${{I}_2}$为二维单位矩阵。

2） 艏摇角速度的控制律设计。类似前向角速度的控制律设计，采用三阶ESO来估计未知项$h_i^r$，设计了如下式的三阶ESO系统表达式。

式中，$\mu _{i1}^\varphi ,\mu _{i2}^\varphi ,\mu _{i3}^\varphi \in {{\bf R}^ + }$，均为ESO观测器增益；${\hat \varphi _i}$, ${\hat r_i}$和$\hat h_i^r$分别为${\varphi _i}$, ${r_i}$和$h_i^r$的估计值；${\tilde \varphi _i} = {\hat \varphi _i} - {\varphi _i}$，为航向角估计误差。定义${r_i}$和$h_i^r$的估计误差分别为：${\tilde r_i} = {\hat r_i} - {r_i}$，$\tilde h_i^r = \hat h_i^r - h_i^r$, 结合式(14)和式(22)，得到如下三阶ESO的动态误差表达式。

令$\hat \varphi _i^{\rm{*}}$和$\hat r_i^{\rm{*}}$为期望航向角和期望艏摇角速度的估计跟踪误差，即$\hat \varphi _i^{\rm{*}}{\rm{ = }}{\hat \varphi _i} - \varphi _i^{\rm{*}}$，$\hat r_i^{\rm{*}}{\rm{ = }}{\hat r_i} - r_i^{\rm{*}}$，联立式(22)并对$\hat \varphi _i^{\rm{*}}$和$\hat r_i^{\rm{*}}$求导，则有

设计如式(25)所示的虚拟期望角速度来稳定$\dot {\hat \varphi} _i^{\rm{*}}$。

式中：$\mu _{i{\rm{c}}}^\varphi \in {\bf R}$，为动力学增益常数；${\delta _{i3}}$为正数。基于式(22)，设计如式(26)所示的艏摇角速度控制律来稳定$\dot {\hat r}_i^{\rm{*}}$。

式中，$\mu _{i{\rm{c}}}^r \in {\bf R}$，为动力学增益常数；${\delta _{i4}}$为正数。联立式(24)~式(26)，得到$\hat \varphi _i^{\rm{*}}$和$\hat r_i^{\rm{*}}$的导数改写为：

将式(23)改写成矩阵形式为

式中，

因${{B}_{i2}}$为赫尔维茨矩阵，故存在一个正定矩阵${{P}_{i2}}$使${{B}_{i2}}$满足如下不等式。

式中：${\xi _{i2}}$为一个正数; ${{I}_3}$为三维单位矩阵。

3.   稳定性分析

3.1   ESO子系统稳定性证明

本节将对2.2节所提出的ESO子系统进行稳定性证明。由于式(20)和式(28)这两个子系统的形式相同，故本节主要介绍式(20)所示的ESO子系统稳定性证明。式(20)所示子系统稳定性证明由引理1给出。

引理 1：在满足假设3的前提下，式(20)所示ESO子系统：$\left[ {\dot h_i^u} \right] \mapsto \left[ {{{E}_{i1}}} \right]$是输入渐进稳定状态(Input-to-State Stable, ISS) 的。

证明：构建Lyapunov方程如下：

对${V_1}$求导，则有

联立式(21)和式(31)，则有

当满足$\left\| {{{E}_{i1}}} \right\| \geqslant 2\left\| {{{P}_{i1}}{{C}_{i1}}} \right\|\left| {\dot h_i^u} \right|/\left( {{\xi _{i1}}{\varepsilon _{i1}}} \right)$时，则

式中，$0 < {\varepsilon _{i1}} < 1$。根据文献[25]中的定理4.6可知，该ESO子系统是ISS的，且$\left\| {{{E}_{i1}}} \right\|$的界可表示为

引理 2：根据假设3，式(28)所示ESO子系统：$\left[ {\dot h_i^r} \right] \mapsto \left[ {{{E}_{i2}}} \right]$是ISS的，且$\left\| {{{E}_{i2}}} \right\|$的界可表示为

式中：$0 < {\varepsilon _{i2}} < 1$；${\lambda _{\min }}(\cdot)$， ${\lambda _{\max }}(\cdot)$分别为矩阵的最小和最大特征值；${t_0}$为初始时间。

3.2   动力学系统稳定性证明

由式(19)和式(27)所组成的动力学系统稳定性由引理3给出。

引理3：式(19)和式(27)所示动力学系统：$\left[ {{{\tilde u}_i},{{\tilde \varphi }_i}} \right] \mapsto \left[ {\hat u_i^{\rm{*}},\hat \varphi _i^{\rm{*}},\hat r_i^{\rm{*}}} \right]$是ISS的。

证明：构建Lyapunov方程如下：

将式(19)，式(27)和式(36)联立并对${V_2}$求导，则有

令

则有如下不等式成立：

式中，$0 < {\varepsilon _{i3}} < 1$。

根据引理1和引理2，由式(19)和式(27)所组成的动力学系统是ISS的，且$\left\| {{{E}_{i3}}} \right\|$的界可表示为

考虑动力学前向速度跟踪误差${u_{i{\rm{e}}}} = {u_i} - u_i^{\rm{*}} =$$\hat u_i^{\rm{*}} - {\tilde u_i}$$\leqslant \left| {\hat u_i^*} \right| - \left| {{{\tilde u}_i}} \right|$和艏摇角速度跟踪误差${\varphi _{i{\rm{e}}}} = {\varphi _i} -$$\varphi _i^{\rm{*}} = \hat \varphi _i^{\rm{*}} - {\tilde \varphi _i} \leqslant \left| {\hat \varphi _i^{\rm{*}}} \right| - \left| {{{\tilde \varphi }_i}} \right|$，由式(34)、式(35)和式(39)可知，动力学跟踪误差有界。

3.3   运动学系统稳定性证明

如式(13)所示的运动学子系统稳定性由引理4给出证明。

引理4：运动学子系统式(13)中$\left[ {{{\varDelta }_{i{\rm{e}}}}} \right] \mapsto$$\left[ {{{e}_i},{\theta _{i{\rm{e}}}}} \right]$是ISS的。

证明：构建Lyapunov方程如下：

联立式(13)对${V_3}$求导，则有

令${{E}_1} = {\rm{col(}}{{e}^{\rm{T}}}{\rm{,}} {{\sigma }^{\rm{T}}}{\rm{)}}$, ${{E}_2} = {\rm{col(}}{{e}^{\rm{T}}}{\rm{,}}\;{\theta }_{\rm{e}}^{\rm{T}}{\rm{)}}$，且满足：${{E}_1}{\rm{ = }}{\varPsi }{{E}_2}$, ${e} = {\rm{col}}\left( {{e}_1^{\rm{T}},...,\;{e}_k^{\rm{T}}} \right)$, ${\sigma } = {\rm{col}}\left( {{\sigma _{M + 1}}{\rm{,}} \cdots } \right.$ $\left. {{\sigma _N}} \right)$。

其中，

由此，得到如下不等式：

式中，

因为E₂满足下列关系：

式中，$0 < {\varepsilon _4} < 1$。

联立式(42)和式(43)，可得

根据引理3可知，输入信号${{\varDelta }_{\rm{e}}}$有界且存在一个正数$\varDelta _{\rm{e}}^*$，并且满足$\left\| {{{\varDelta }_{\rm{e}}}} \right\| \leqslant \varDelta _{\rm{e}}^*$。因此, 式(13)所示运动学系统是ISS的，$\left\| {{{E}_2}} \right\|$的界可以表示为

3.4   级联系统稳定性证明

对于多领航者导引的双桨USV，其时变编队控制系统的级联系统稳定性可由定理1给出。

定理1：考虑由多领航者导引的无人船集群分布式时变编队结构，其中，USV的运动状态可由式(1)和式(2)所示数学模型表述，控制器由式(10)所示运动学制导律、式(11)所示路径更新律、式(20)和式(28)所示ESO预估器以及式(18)和式(26)所示动力学控制律组成。若满足假设1~假设3，则多路径导引的无人船集群时变编队闭环控制系统是ISS的。

证明：根据引理1~引理4，由式(13)，式(19)，式(20)，式(27)和式(28)子系统组成的级联系统是ISS的。当$t \to \infty$时，其满足如下关系：

4.   仿真结果

本节对多领航者导引USV集群的分布式时变编队系统进行仿真验证，采用了如图3所示的6个USV和2个虚拟领航者组成的集群系统，通过此仿真来验证所提控制方法的有效性。

图  3  时变编队系统的通信网络结构

Figure  3.  Communication network structure of time-varying formation system

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如图3所示，任意2个USV间的连线表示双方的信息传递，箭头表示信息流向。该仿真对应的通信结构整体如下：2#~4#USV可以获取虚拟领航者的路径信息，1#，5#和6# USV仅能获取相邻USV的信息。

仿真中USV物理参数选取参考文献[26]，对本文中需要的参数说明如下：第i个USV的初始状态信息表示为${{s}_i} = {\rm{col}}\left( {{x_i},{y_i},{\varphi _i},{u_i},{v_i},{r_i}} \right)$，则1~6号USV的初始状态信息分别表示如下：

7#~8#虚拟领航者位置分别表示如下：

1#~6# USV对应时变偏差信号分别表示如下：

对于1#~3# USV，其运动学参数选择为：${{K}_{{\rm{c}}i}} =$${\rm{diag}}\left\{ {0.18,0.775} \right\},i = 1,2,3$, ${\delta _{i1}} = 5$，${\varsigma _l} = 2$；对于4#~6# USV，其运动学参数选择为：${{K}_{{\rm{c}}i}} = {\rm{diag}}\left\{ {0.5,2} \right\}$, $i = 4,5,6$，${\delta _{i1}} = 5$。

由于所有USV均采用相同的物理模型，所以动力学参数选择为：${\delta _{i2}} = 2$, ${\delta _{i3}} = 2$, ${\delta _{i4}} = 2$, $\mu _{i{\rm c}}^u = 2$, $\mu _{i{\rm c}}^\varphi = 2$, $\mu _{i{\rm c}}^u = 5$，ESO参数选择为：$\mu _{i1}^u = 20$, $\mu _{i2}^u = 200$, $\mu _{i1}^\varphi = 30$, $\mu _{i2}^\varphi = 300$, $\mu _{i3}^\varphi = 1\;000$。

图4所示为多领航者导引的时变编队系统的仿真结果。由图可见，7#和8#这2个虚拟领航者分别沿给定的参数化路径${{p}_{7 {\rm {r}}}}$和${{p}_{8 {\rm {r}}}}$移动形成了一段圆环。根据图3所示通信拓扑关系，1#~3# USV同时汇聚并最终均匀分布在2个虚拟领航者间，保持在一条直线上。4# USV获取虚拟领航者的中心位置，并以此为编队参考点，对于4#~6# USV，分别在给定时变输入信号${{p}_{4{\rm{d}}}}$，${{p}_{5{\rm{d}}}}$和${{p}_{6{\rm{d}}}}$的作用下，以编队参考点为圆心，在半径为25 m的圆上绕着该参考点顺时针旋转与虚拟领航者协同前进，并时刻保持着图4所示的三角形队形。

图  4  多领航者导引的时变编队结构

Figure  4.  Time-varying formation structure guided by the multiple virtual leaders

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图5和图6表明，所有USV在NED坐标系下的跟踪误差在稳态时收敛到阈值以内，并在该范围内上、下波动。图7~图10给出了USV的实际速度与期望速度，以及实际航向与期望航向曲线。由图可以看出，基于ESO设计的前向速度控制律和艏摇速度控制律可以使USV在较短的时间内跟上期望值，并保持期望值运动。其中，各图中的的物理量分别表示如下：u₁~u₆为实际速度，$u_1^*$~$u_6^*$为期望速度（图7, 图8）；${\varphi _1}$~${\varphi _6}$为实际航向，$\varphi _1^*$~$\varphi _6^*$为期望航向（图9, 图10）。

图  5  1#~3# USV在NED坐标系下的跟踪误差

Figure  5.  1#-3# USVs' tracking error of the NED reference system

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图  6  4#~6# USV在NED坐标系下的跟踪误差

Figure  6.  4#-6# USVs' tracking error of the NED reference system

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图  7  1#~3# USV的实际速度和期望速度

Figure  7.  Actual speed and desired speed of 1#-3# USV

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图  8  4#~6# USV的实际速度和期望速度

Figure  8.  Actual speed and desired speed of 4#-6# USV

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图  9  1#~3# USV的实际航向和期望航向

Figure  9.  Actual heading and desired heading of 1#-3# USV

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图  10  4#~6# USV的实际航向和期望航向

Figure  10.  Actual and desired heading of 4#-6# USV

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图11和图12分别给出了所有USV在u方向推力的控制输入曲线和r方向的控制输入转矩曲线。图13所示为2个虚拟领航者路径参数的变化曲线。结合图4可以看出，由于给定USV的初始位置落后于虚拟领航者，为实现虚拟领航者与USV间的协同，路径参数以负值更新，以使虚拟领航者向USV靠近，当与USV接近后开始协同绕图4所示的圆环运动。

图  11  所有USV的在u方向的推力控制输入

Figure  11.  Control input of all USVs' thrust in the u direction

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图  12  所有USV在r方向的力矩控制输入

Figure  12.  Control input of all USVs' torque in the r direction

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图  13  虚拟领航者的参数更新曲线

Figure  13.  The parameter update curves of virtual leader

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5.   结　语

本文主要介绍了含有模型不确定性和未知海洋环境扰动时USV集群由多领航者导引下无人船集群的分布式时变队形控制问题。首先，在运动学层级，运用包含策略和路径操纵的基本原理，设计了基于邻居信息（位置、前向速度和航向）的分布式时变队形制导律；然后，在动力学层级，设计了基于ESO的前向速度和艏摇角速度控制律，估计了USV在航行过程中存在的模型不确定性以及未知海洋环境扰动；最后，通过级联系统稳定性分析，证明了无人船集群时变编队闭环控制系统输入状态的稳定性，通过仿真结果也验证了该方法的有效性。