0.   引　言

电液伺服系统因其功率密度大、刚度大、反应速度快、质量轻、性能稳定等优点而被广泛应用于飞机操纵、雷达跟踪、导弹位置控制以及舰船舵机装置、坦克火炮的稳定装置等领域^[1]，但其固有的非线性、外负载干扰、参数变化、模型不确定等因素将对电液位置伺服系统的控制精度、跟踪性能及抗干扰性能造成影响。目前，传统的PID控制算法在电液伺服系统中存在一定的相位滞后性，且易出现超调、振荡等问题；虽然滑模控制、自适应鲁棒控制及最优控制等智能控制策略可以实现较好的控制效果，但其对被控系统数学模型的精确性较为敏感，且对系统参数时变的鲁棒性较差^[2]。针对这一问题，有必要采用基于实验样本的智能控制算法来适应电液伺服系统不断变化的环境，以便快速实现电液伺服系统轨迹的精确控制，同时克服系统的非线性、强耦合等问题。

随着电液位置伺服系统向快速、大功率、高精度、强响应等方向发展，国内外学者提出了相关控制算法的优化措施。例如，模糊控制、神经网络、非线性控制等智能控制策略与传统PID算法相结合的新型PID控制器，可以在一定程度上保证电液伺服系统的控制精度^[3-4]。蔡改贫等^[5]和董蒙等^[6]基于智能算法对传统控制器进行了改进优化，有效提升了伺服系统的响应速度，但仍然存在滑模控制抖振和控制精度较低，模糊控制的稳定性不足等问题。

柯丹^[7]将闭环和开闭环迭代学习控制方法应用于电液位置伺服系统，仿真结果表明，开闭环迭代学习比闭环的跟踪效果和收敛速度更优，但传统的开闭环迭代学习存在收敛速度较慢的问题，且其收敛精度有待提高。

为了兼顾电液位置伺服系统的控制精度和系统响应速度，本文拟提出一种反馈−前馈变增益迭代学习法，通过建立电液位置伺服系统的简化模型，利用改进后的迭代学习控制算法对系统进行不断学习和反复训练，最终快速输出精确度极高的运动跟踪轨迹。该策略对系统模型精确度的要求较低，能以简单方式处理不确定度较高的非线性耦合系统。此外，为了加快学习速度，本文将采用带遗忘因子的变增益学习律，用以提升控制器的响应速度和跟踪效果，研究成果可为电液位置伺服系统的控制性能优化及实际工程推广应用提供参考。

1.   电液位置伺服系统

1.1   系统组成

电液位置伺服系统主要由控制器、控制放大器、电液伺服阀、液压缸、位移传感器等模块组成^[8]，如图1所示。伺服系统以控制器为核心，通过控制伺服阀来驱动液压缸，使液压缸的位置可以跟随控制要求而变化。在控制过程中，油源不断向伺服阀输送液压油，液压油在伺服阀的控制下进入液压缸，从而推动负载运动。位移传感器将采集液压缸活动位移的反馈信号x_p，并经A/D转换，获得电压信号。通过比较转换电压信号U_f与给定信号U，即可产生误差信号。控制器基于迭代学习控制算法对输入误差信号进行调节之后，即可控制伺服阀电流，进而影响伺服阀的输出位移，实现液压缸的伺服控制，最终形成位置闭环控制系统。

图  1  典型电液位置伺服系统的原理图

Figure  1.  Schematic diagram of a typical electro-hydraulic position servo system

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1.2   电液位置伺服系统的数学模型

电液位置伺服系统的控制框图如图2所示，本文采用了线性可变差动变压器（linear variable differential transformer，LVDT）位移传感器。图2中：U为电液位置伺服系统给定位置的输入电压；U_s为经控制器调节之后的电压信号；I为伺服阀的输入电流；Q_L为伺服阀的输出流量。

图  2  电液位置伺服系统的控制框图

Figure  2.  Control block diagram of electro-hydraulic position servo system

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1.2.1   伺服放大器建模

为了保证伺服阀的输入电流I不受负载电感的影响，一般宜采用电流负反馈放大器，其伺服阀的转角线圈频率较高，可将其视为比例环节，传递函数为

式中：s为传递函数的复变量；K_a为伺服阀的放大增益。

1.2.2   电液伺服阀建模

作为电液位置伺服系统中极其重要的控制元件，电液伺服阀的作用是实现电、液2种信号的转换与输出，将小功率电流输入信号转换为大功率的液压控制信号并输出至液压缸，进而控制液压缸驱动负载按照既定轨迹运动。伺服阀具有高度非线性的特点，其响应与液压系统的固有频率密切相关。

当电液伺服阀的响应角频率ω_s接近液压机构的固有频率ω_sv时，即ω_sv≈ω_s，即可将电液伺服阀的传递函数视为一个二阶振荡环节^[9]，其传递函数G_sv为

式中：K_sv为伺服阀的流量增益；ζ_sv为伺服阀的阻尼比。

1.2.3   液压缸建模

假定：1）伺服阀的供油压力恒定；2）液压缸工作腔的压力一致；3）油温恒定；4）忽略非线性负载；5）不考虑管道压力损失，则伺服阀的流量方程可以近似为

式中：x_v为伺服阀的阀芯位移；K_c为流量−压力系数；P_L为负载压力。

液压缸的流量连续性方程为

式中：A_p为液压缸活塞的有效面积；C_t为液压缸的总泄漏系数；V_t为总压缩容积；l_e为有效体积弹性模量。

液压缸与负载的力平衡方程为

式中：m_t为负载质量；B_p为负载阻尼系数；K_s为负载弹性系数。

联立式（3）～式（5）并简化处理，即可得到液压缸的传递函数：

式中：${\omega _{\text{h}}} = \sqrt {\dfrac{{4{l _{\text{e}}}A_{\text{p}}^2}}{{{V_{\text{t}}}{m_{\text{t}}}}}}$，为液压缸的固有频率；${\zeta _{\text{h}}} = \dfrac{{{K_{{\text{ce}}}}}}{{{A_{\text{p}}}}}\sqrt {\dfrac{{{l _{\text{e}}}{m_{\text{t}}}}}{{{V_{\text{t}}}}}}$，为液压缸阻尼比，其中K_ce为总流量−压力系数。

1.2.4   位移传感器建模

本文所采用的LVDT位移传感器属于非接触式测量传感器，通过检测伺服阀的阀芯位移变化率作为输入量，将其转化为电压输出U_f。LVDT位移传感器基于变压器原理工作，当阀芯位移发生变化时，其内部磁通将同时发生变化，并引起副边线圈的电压变化^[10]，其传递函数近似为比例环节，即

式中，K_f为位移传感器系数。

电液位置伺服系统的传递函数如图3所示。

图  3  电液位置伺服系统的传递函数框图

Figure  3.  The transfer function block diagram of electro-hydraulic position servo system

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2.   反馈−前馈变增益迭代学习法控制器设计

2.1   迭代学习法的基本原理

迭代学习法的基本原理为：通过记忆储存第k次运动周期的误差e_k (t)，并引入偏差修正信号ε_k (t)，其与第k次迭代控制输入u_k (t)共同构成新的第k +1次迭代控制输入u_k+1 (t)，从而对被控系统进行跟踪控制，并继续将新的控制信号存入记忆系统中，循环迭代，最终逐渐使u_k(t)接近期望输出y_d(t)。

迭代学习包括开环迭代和闭环迭代2种方式：开环迭代学习将利用第k次迭代的输入信号和输出偏差信号，构成第k+1次迭代的输入信号；而闭环迭代学习，则将舍弃第k次迭代的输出偏差，仅利用第k+1次输出偏差和第k次输入信号组成第k+1次迭代的输入信号。两者相比，闭环迭代学习的学习速度更快，且其反馈环节可以减少跟踪误差并提升系统的鲁棒性，但也可能引起系统振荡^[11]。为此，本文将结合两者的优势，采用开闭环学习律，从而实现快速有效的控制。

2.2   反馈−前馈迭代学习控制器的架构

反馈−前馈迭代学习控制器的基本架构如图4所示，其将前馈控制和反馈控制并联且两者独立工作于被控对象^[12]。

图  4  反馈−前馈迭代学习控制器的架构

Figure  4.  Architecture of feedback-feedforward iterative learning controller

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图4中：V为闭环迭代学习的比例微分（proportional derivative，PD）型反馈控制器；M为前馈控制器，采用PD型开环学习律；G为被控对象；N为滤波器，一般用于去除高频干扰；y_d(t)为期望输出值；e_k(t)为第k次迭代的跟踪误差值；$u_k^{\text{p}}(t)$为误差信号经前馈控制器M的第k次迭代输出控制信号；$u_k^{\text{b}}(t)$为误差信号经反馈控制器V的第k次迭代输出控制信号；$u_k^{\text{f}}(t)$为第k次前馈开环迭代学习输出信号；u_k+1(t)为第k+1次迭代的输入控制信号；y_k(t)为实际输出值。每经过一次迭代，误差存储单元和记忆存储单元将保存跟踪误差和输入信号，用以更新控制信号。

2.3   反馈−前馈迭代学习控制器的收敛性证明

为了确保迭代学习控制系统可以稳定工作，本文将利用频域分析法对迭代学习过程进行收敛性验证。反馈−前馈迭代学习控制器（图4）的关系表达式为

式中，$u_{k + 1}^{\text{f}}$为$u_k^{\text{f}}(t)$为第k+1次前馈开环迭代学习的输出信号。

简化式（8），则控制律为

式中，e_k+1为第k+1次迭代的跟踪误差值。

如果对于任意k而言，均满足

则证明误差e_k+1将逐渐收敛于某个值，系统将达到平衡状态，即

为了保证式（12）在任意第k次迭代时均成立，则应满足

式中，ρ为谱半径。

由于反馈控制对系统收敛性基本无影响，故假设当V = 0时，式（13）可简化为||N(1-GM)|| _∞<1。本文中的滤波器N (s)采用了巴特沃斯滤波器，即

式中：ω为信号角频率；ω_c为截止角频率。

由此可见，||N(1−GM)|| _∞=||N|| ||(1−GM)|| _∞= ||(1−GM)|| _∞<1恒成立，即系统收敛。

2.4   反馈−前馈变增益学习律设计

对于前馈控制系统而言，当前馈控制系统中M = G⁻¹时（此处G代表系统开环传递函数），系统稳态误差为0，即为无差控制系统。然而，在实际工程应用中，由于控制系统的复杂性和非线性，一般无法实现该理想工况。此外，较高的微分阶数将导致系统的鲁棒性和抗干扰能力较弱。因此，本文前馈将采用开环PD型迭代学习律，并利用一阶微分环节来提高系统的控制精度，其学习律为

式中：$u_{k + 1}^{\text{p}}(t)$为误差信号经前馈控制器 M 的第 k+1 次迭代输出控制信号；Γ，F均为误差学习算子；${\dot e _k}(t)$为第k次跟踪误差值的导数。

前馈控制器M的主要作用是保证系统的跟踪性能并提升控制效果，而反馈控制器V则负责提升系统的稳定性和鲁棒性，从而快速收敛。由于迭代学习自带一定的积分效应^[13]，所以本文将采用带遗忘因子的变增益闭环PD型学习律的反馈控制器，与固定增益的传统学习律相比，该学习律可以更快地跟踪期望轨迹，其表达式为

式中：$u_{k + 1}^{\text{b}}(t)$为误差信号经反馈控制器 V 的第 k +1次迭代输出控制信号；λ(k)∈[0，1]，为可变遗忘因子，其值将随着迭代次数而变化；$u_{k0}^{\text{b}}(t)$为第k次迭代的初始剩余量，且$u_{(k + 1)0}^{\text{b}}(t) = \lambda (k)u_{k0}^{\text{b}}(t)$；β(t) 为指数可变增益，其与λ(k)均依靠经验选取数值；Q，T均为误差学习算子。

2.5   反馈−前馈变增益迭代学习法的实现流程

1） 初始化系统迭代次数n，设定学习律遗忘因子参数、变增益系数和学习算子，并给定期望轨迹y_d和初始输出u₀。

2） 将控制输出u_k施加至电液伺服系统模型G，输出y_k位置数据，同时采样保存。

3） 将输出值与给定轨迹值作差，得到误差e_k并存储。

4） 将储存的误差e_k进行前馈与反馈学习律计算，分别得到第k次反馈控制输出$u_k^{\text{b}}$和前馈控制输出$u_k^{\text{f}}$，经过其他环节后合并为u_k+1。

5） 判断是否满足所设定的迭代次数：如果满足，则输出y_k位置曲线；否则返回步骤2）。

反馈−前馈变增益迭代学习算法的实现流程如图5所示。

图  5  反馈−前馈变增益迭代学习算法的流程图

Figure  5.  Flow chart of feedback-feedforward variable gain iterative learning algorithm

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3.   仿真验证

3.1   搭建Simulink系统模型

为了进一步验证本文改进的迭代学习控制算法在电液位置伺服系统中的有效性，在Matlab中建立Simulink模型^[14]，其关键参数如表1所示：遗忘因子λ(k)= 1/k³，β(t)=e^0.8t；开环学习律中Γ=600，F=20；闭环学习律中Q=150，T=0.5；每次运行时间为0.5 s，采样周期t_s=0.001 s；输入给定信号为正弦位置信号，即y_d(t)=5sin(20πt)。

表  1  仿真模型的关键参数

Table  1.  Key parameters of simulation model

参数	数值
Vt /m3	5.1×10−3
Ap /m2	6.36×10−3
le /Pa	7×108
Ksv /( m3·A2·s)	189×10−3
mt /kg	1 000
ζsv	0.7
ωsv /(rad·s−1)	376.8
ζh	0.2
ωh /(rad·s−1)	585
Kf /(V·m−1)	25
Ka/(A·V−1)	0.25
Kce /( m5·N·s)	6.45×10−10
Bp /(N·m−1·s−2)	800

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3.2   仿真验证

在Matlab中运行迭代学习控制算法，当迭代次数为1，5，15时的位置输出曲线如图6所示，可以看出，初始最大误差绝对值约为2.578 mm，迭代5次后的最大误差绝对值为0.227 mm，而迭代15次后则仅为0.06 mm，期望输出轨迹与实际输出轨迹基本重合。根据图7所示的最大迭代误差值曲线可知，随着迭代次数的变化，误差值从第5次迭代开始逐渐趋于稳定，并最终收敛于定值。

图  6  不同迭代次数下的位置跟踪曲线

Figure  6.  Position tracking curves under different iteration times

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图  7  每次迭代的最大误差绝对值

Figure  7.  The absolute value of the maximum error of each iteration

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传统PID控制器的仿真跟踪曲线如图8所示，其中PID控制器的参数分别为K_p=8，K_d=0.3，K_i=0.05。此时跟踪误差为0.2 mm，滞后延迟近39°，具有明显的相位滞后性，且无法通过修改PID参数来补偿该滞后。此外，其跟踪精度也存在一定误差，无法获得最优的跟踪控制。

图  8  PID控制电液位置伺服系统的仿真跟踪曲线

Figure  8.  Simulation tracking curve of PID controlled electrohydraulic position servo system

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学习律中带遗忘因子的变增益迭代学习与传统迭代学习控制的15次迭代的最大误差绝对值收敛对比结果如图9所示，可以看出：在第5次迭代时，改进迭代算法就已经接近于收敛值，而传统迭代算法则在第11次迭代时才逐渐收敛；稳定之后的传统迭代算法跟踪误差为0.4 mm，误差率接近9%，而改进迭代学习算法的收敛精度更高，误差率仅约0.11%，这说明本文电液位置伺服系统的跟踪效果更好。

图  9  改进迭代学习算法与传统迭代学习的最大误差绝对值收敛情况对比

Figure  9.  Comparison of maximum error absolute value convergence between the improved iterative learning algorithm and traditional iterative learning

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4.   结　语

针对电液位置伺服系统的非线性特点以及参数时变对位置追踪精度的影响，本文建立了电液位置伺服系统模型，提出了带遗忘因子的反馈−前馈变增益迭代学习法，实现了位置伺服系统的实时位移跟踪。仿真结果证明，相较于传统的迭代学习算法和传统PID控制策略而言，改进后的迭代学习算法具有更快的收敛性和响应度，可以实现给定位置的稳定精确跟踪，从而明显提升系统的动态特性。本文所提出的控制思路和改进方法对于船舶舵机直驱式电液伺服系统设计具有一定的借鉴意义，在工程应用中可以利用计算机存储记忆功能予以实现。