Dynamic coupling characteristics of the beam and plate components of the orthogonally stiffened plate
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摘要:目的 旨在探究正交加筋板中板梁构件的动力耦合关系及其对正交加筋板本征动力特性的影响机理和影响规律。方法 以不同弯曲刚度比的正交加筋板模型为研究对象，采用有限元法计算自由边界和固支边界下正交加筋板模型的固有频率及振型，通过分析正交加筋板模型的固有频率及振型随板梁弯曲刚度比的变化规律，探究正交加筋板中加强筋与平板两种构件间的动力耦合特性。结果 研究表明，在板梁构件弯曲刚度变化过程中，正交加筋板主要表现为板类动力特性为主导和板梁耦合动力特性两种形式。得到了这两种形式转变过程中的临界板梁弯曲刚度比及其判据。结论 板梁动力耦合现象对固有频率的影响主要表现为改变固有频率随弯曲刚度比的变化速率，对固有振型的影响主要表现为使板类振型产生错位分布和形态畸变。Abstract: [ Objective ] Orthogonally stiffened plates with different plate-to-beam bending stiffness ratios are taken as the research objects to uncover the dynamic coupling characteristics of the beam and plate components of orthogonally stiffened plates, and reveal the mechanism and influence of dynamic coupling between the construction members on their intrinsic dynamic characteristics. [ Method ] The natural frequencies and mode shapes of numerical models under free boundary conditions and clamped boundary conditions are calculated using the finite element method. Through an analysis of variations in the natural frequencies and mode shapes of an orthogonally stiffened plate against the plate-to-beam bending stiffness ratio, the intrinsic dynamic characteristics of an orthogonally stiffened plate with different bending stiffness ratios are discussed, and the dynamic coupling characteristics between the beam and plate are analyzed. [ Results ] The numerical results show that with the variation of the plate-to-beam bending stiffness ratios, the dynamic behaviour of the orthogonally stiffened plate transforms between two kinds of characteristics: one dominated by the plate and the other one coupled by the beam and plate. The critical plate-to-beam bending stiffness ratios and the criterion for determining them are presented in this paper. [ Conclusion ] The dynamic coupling between the beam and plate changes the variation rate of the natural frequencies with the plate-to-beam bending stiffness ratio, leading to the dislocation and distortion of the mode shapes of orthogonally stiffened plates.
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0. 引 言
在船舶与海洋工程结构设计中，板壳结构作为主要构件，起到了形成封闭空间，承载流体载荷，支撑作业装备和人员等作用。为了在保证板壳结构承载能力的前提下减轻结构重量，通常会在一定厚度的板壳上沿长度和宽度方向焊接加强筋型材，形成正交加筋板。这种由平板和型材形成的板架结构在受到外部动载荷激励时会表现出复杂的耦合动力学特性。随着国际海事组织（IMO）船舶舱室噪声等级规则的全面实施[1]，船舶与海洋工程结构物动力性能要求的提高[2]和海洋生物水下辐射噪声环境的改善逐渐受到重视[3]，以正交加筋板为代表的船舶与海洋工程板架结构本征动力特性的研究成为了上述领域的一个热点问题。
在研究正交加筋板动力特性的文献中有两种等效简化的处理方法：一种是考虑加强筋对平板刚度的影响，将正交加筋板等效为在相互正交的两个方向上刚度不同的正交异性板理论[4]；另一种是将平板视为加强筋的带板，而将正交加筋板视为由梁格单元构成的梁格（grillage or grid）理论[5]。随着数值方法的丰富和计算技术的进步，在研究正交加筋板动力特性时，考虑到加强筋和平板之间的位移连续和力平衡关系，一般将平板和加强筋视为两个相互耦合的构件[6]。
对于平板构件的形状[7]、面内惯性[8]、剪切变形与转动惯量[9]、加强筋构件的间距[10]和形心偏移[11]等多方面的因素对正交加筋板的动力特性的影响，众多学者进行了深入探讨。通过对各向同性材料的正交加筋板进行的大量研究，具有各向异性[12]、层合[13]、复合[14]、夹心[15]以及功能梯度[16]等不同形式的新型材料属性的正交加筋板动力特性逐渐受到学者们的关注。在开展上述正交加筋板动力特性研究过程中涉及到 多种数值计算方法，包括但不限于瑞利−里兹法[17]、有限差分法（FDM）[18]、微分求积法（ DQM）[19]、动刚度法[20]、伽辽金法[21]、边界元法（BEM）[22]、统计能量法（SEA）[23]、再生核粒子法（RKPM）[24]和有限元法（FEM）[25]等，其中，针对正交加筋板的中、低频动力特性适用性最广，研究得最充分的当属FEM[26]。
国内外诸多学者采用FEM研究了正交加筋板的动力特性。一方面是针对正交加筋板的有限元建模方法及其适用性问题[27]，另一方面是针对FEM在正交加筋板动力响应分析中的准确性和可靠性问题的研究[28]。适用性较广、可模拟弯曲边界从而适用于任意形状加筋板的等参单元在加筋板的静力、自由振动和稳定性等的研究也得到了学者的关注[29]。此外，FEM在新型材料加筋板动力特性分析中的应用也是当前的热点问题[30]。
通过对上述文献中与加筋板动力特性相关研究的回顾和总结，可见，迄今针对加筋板动力特性的现有研究主要集中在模型的合理性和有效性、数值计算方法的适用性和准确性、新型材料和不同参数对动力特性的影响等方面，而针对构成加筋板的梁与板构件间的动力耦合特性相关研究相对较少。在研究正交加筋板中一维梁类弯曲波传播与衰减特性[31]时，发现横向与纵向加强筋间的平移和转动耦合导致了局域共振衰减带的产生。
本文将采用FEM对正交加筋板中梁与平板两种构件的动力耦合问题进行研究，分析正交加筋板本征动力特性（固有频率和振型）随梁与平板弯曲刚度比的变化规律，讨论不同弯曲刚度比下正交加筋板本征动力特性的特点，以此探讨正交加筋板中梁与平板两种构件的动力耦合现象及其形成机理。该研究对揭示板架结构动力耦合机理，预报和评估板架结构动力性能，指导船舶与海洋工程典型板架结构的设计具有重要意义。
1. 经典梁理论和经典薄板理论
正交加筋板的材料属性和几何参数都会对其本征动力特性产生显著的影响，国内外学者对此开展了大量研究。然而，正交加筋板中平板构件和梁构件之间的动力耦合对其动力特性影响的研究却十分有限。本文基于经典梁理论和经典薄板理论分析正交加筋板中板梁构件的动力耦合问题。
由梁弯曲的基本理论即Euler-Bernoulli梁理论或细直梁理论[32]，等截面梁横向自由振动的运动微分方程为
E{\boldsymbol{I}}\frac{{{\partial ^4}w(x,t)}}{{\partial {x^4}}} + \rho A\frac{{{\partial ^2}w(x,t)}}{{\partial {t^2}}} = 0 (1) 式中：E和ρ分别表示梁材料的弹性模量和质量密度；I和A分别表示梁截面的惯性矩和面积；w(x, t)表示t时刻梁轴向位置x处的横向位移；EI表示单位长度梁的弯曲刚度。 根据经典薄板理论[33]，由薄板单元的受力分析、广义Hooke定律和薄板单元的应变位移关系可以得到薄板面外自由运动微分方程为
\begin{split} & D\left[ {\frac{{{\partial ^4}w(x,y,t)}}{{\partial {x^4}}} + 2\frac{{{\partial ^4}w(x,y,t)}}{{\partial {x^2}\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^4}w(x,y,t)}}{{\partial {y^4}}}} \right] + \\&\qquad\qquad\qquad \rho h\frac{{{\partial ^2}w(x,y,t)}}{{\partial {t^2}}} = 0 \end{split} (2) 式中：D = Eh3/12(1−ν2)，表示单位面积薄板的弯曲刚度，其中，E表示薄板材料的弹性模量，h 表示薄板厚度，ν表示薄板材料泊松比； ρ 表示薄板材料的质量密度；w(x, y, t)表示t时刻薄板在坐标(x, y)位置处的横向位移。
对于弯曲振动而言，根据经典梁理论和经典薄板理论，EI和D分别表示单位长度梁和单位面积薄板的弯曲刚度，二者是表征梁和薄板弯曲振动力学行为的重要参数。平板构件和梁构件弯曲刚度比D/EI是量化二者之间动力耦合程度的重要参数。本文将以板梁弯曲刚度比为参变量，采用FEM对正交加筋板中梁与平板构件的动力耦合问题进行研究。
2. 板梁耦合动力特性数值模型有效性分析
本文在采用FEM计算正交加筋板本征动力特性时，面临的一个重要问题是：数值模型的有效性和计算结果的精度能否得以保证，其中划分几何模型网格时网格大小的选取对此具有重要影响。如果网格尺寸太大，数值模型的有效性和计算结果的准确性都难到保证；而网格尺寸过小，则会导致计算量过大，尤其对于较大尺度的正交加筋板结构，会造成时间与经济上的浪费。因此，在分析正交加筋板本征动力特性的尺度效应之前，需要通过不同网格大小的计算结果来确定计算精度和计算成本都能够接受的网格大小。
本文采用ABAQUS 6.14软件对如图1所示正交加筋板的固有频率和振型进行数值计算。数值模型采用钢质材料，其弹性模量E =2.1 × 1011 Pa，质量密度ρ = 7800 kg·m−3，泊松比ν = 0.3。平板厚度h0 = 0.010 m，长度、宽度分别为Lx = 1 m和Ly = 1 m。加强筋的截面为矩形，其宽度b = 0.010 m、高度h = 0.020 m。以长度方向模态数m和宽度方向模态数n相同的斜对角对称振型为分析对象，不同网格尺寸计算的前4阶固有频率如表1所示。
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图 1 单位尺度的正交加筋板数值计算模型示意图Figure 1. Numerical model of unit-size orthogonally stiffened plates由表1可见，在网格尺寸为0.005 m时，采用FEM计算得到的正交加筋板固有频率的最大相对误差为0.037%，网格数量为40400。选取该网格尺寸既能保证较高的计算精度，也能控制计算量。下文数值计算主要采用0.005 m的网格尺寸。
表 1 正交加筋板固有频率与网格尺寸的对应关系Table 1. Corresponding relationship between natural frequency of orthogonal stiffened plates and mesh size网格属性 最大相对误差/% m = n时的固有频率/Hz 尺寸/m 数量 第1阶 第2阶 第3阶 第4阶 0.010 10 200 − 155.770 383.988 689.657 1 124.66 0.009 12 768 0.058 155.743 383.870 689.375 1 124.01 0.008 16 128 0.050 155.712 383.764 689.125 1 123.45 0.007 21 024 0.046 155.680 383.662 688.888 1 122.93 0.006 28 560 0.043 155.653 383.565 688.667 1 122.45 0.005 40 400 0.037 155.626 383.480 688.475 1 122.04 0.004 63 000 0.034 155.601 383.400 688.297 1 121.66 0.003 112 224 0.027 155.580 383.333 688.150 1 121.36 0.002 251 000 0.021 155.565 383.284 688.041 1 121.12 0.001 1 002 000 0.011 155.555 383.252 687.973 1 121.00 3. 板梁耦合动力特性数值计算结果分析
在对数值计算结果的准确性和计算精度进行分析后，下面主要以平板和梁的弯曲刚度比为自变量，以正交加筋板的长度方向模态数m和宽度方向模态数n相同的斜对角对称振型为分析对象，重点关注前3阶固有频率和振型，研究正交加筋板中板梁动力耦合现象对其本征动力特性的影响规律。考虑到不同边界条件对正交加筋板本征动力特性的影响，分别针对四边自由和四边固支的正交加筋板开展数值计算。
3.1 四边自由边界条件下板梁耦合动力特性分析
首先，针对四边自由的正交加筋板，本文计算了不同板梁弯曲刚度比D/EI对应的固有频率，如表2所示。将正交加筋板前3阶固有频率随D/EI的变化规律绘制于图2左侧一列，如图2(a)、图2(c)和图2(e)所示。与之相应振型的固有频率随D/EI的变化速率曲线绘制于图2右侧一列，如图2(b)、图2(d)和图2(f)所示。
表 2 不同板梁弯曲刚度比对应的四边自由正交加筋板前3阶固有频率Table 2. Natural frequencies of the first three orders of orthogonally stiffened plate with four free edges corresponding to different plate-to-beam bending stiffness ratios板梁弯曲刚度比
/m−1m = n时的固有频率 第1阶 第2阶 第3阶 固有频率/Hz 变化速率% 固有频率/Hz 变化速率% 固有频率/Hz 变化速率/% 0.88 71.817 − 168.08 − 348.83 − 1.72 83.360 13.74 202.96 41.52 391.17 50.40 2.97 96.617 10.61 238.16 28.16 439.62 38.76 4.71 110.780 8.14 273.89 20.53 497.87 33.48 7.03 125.450 6.32 310.07 15.59 559.53 26.58 10.01 140.420 5.02 346.56 12.24 623.27 21.39 13.74 155.580 4.06 383.23 9.83 688.19 17.40 18.28 170.850 3.36 420.02 8.10 753.77 14.44 23.74 186.890 2.94 456.84 6.74 819.69 12.07 30.18 201.570 2.28 493.68 5.72 885.77 10.26 37.69 216.990 2.05 530.48 4.90 951.86 8.80 46.36 232.410 1.78 567.22 4.24 1017.90 7.62 56.26 247.830 1.56 603.89 3.70 1083.70 6.65 67.49 263.250 1.37 640.48 3.26 1149.40 5.85 80.11 278.660 1.22 676.96 2.89 1214.80 5.18 94.22 294.050 1.09 713.32 2.58 1279.90 4.61 109.89 309.420 0.98 749.57 2.31 1344.70 4.14 127.21 324.770 0.89 785.68 2.08 1409.10 3.72 146.26 340.090 0.80 821.66 1.89 1473.10 3.36 167.13 355.390 0.73 857.49 1.72 1536.80 3.05 189.89 370.650 0.67 893.18 1.57 1600.00 2.78 214.63 385.880 0.62 928.71 1.44 1662.80 2.54 241.43 401.080 0.57 964.08 1.32 1725.10 2.32 270.37 416.250 0.52 999.28 1.22 1787.00 2.14 301.54 431.380 0.49 1034.70 1.14 1848.50 1.97 335.01 446.470 0.45 1069.20 1.03 1909.40 1.82 370.88 461.520 0.42 1103.90 0.97 1969.80 1.68 由图2(a)、图2(c)和图2(e)可知，随着D/EI 的增大，前3阶固有频率虽有所不同，但其变化规律却十分相似。当D/EI较小时，前3阶固有频率随着D/EI的增大而急剧增大；而当D/EI较大时，前3阶固有频率仍随着其的增大而增大，但变化速率却逐渐减小并渐趋于一个常数。这种变化速率的改变在图2(b)、图2(d) 和图2(f) 中表现得尤为明显。当D/EI ≤ 15 m−1时（此临界值的确定以正交加筋板固有频率的相对变化速率不小于10%为判据），前3阶固有频率随着D/EI 比的变化速率增大而急剧减小；而当D/EI ≥100 m−1时（该临界值的确定以正交加筋板固有频率的相对变化速率不大于5%为判据），前3阶固有频率随着D/EI的变化速率缓慢减小并渐趋为常数，这种变化速率由急剧减小到缓慢减小是一个平稳过渡的过程。
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图 2 板梁弯曲刚度比对四边自由正交加筋板固有频率的影响Figure 2. Effect of plate-to-beam bending stiffness ratio on natural frequencies of the first three orders of orthogonally stiffened plate with four free edges图3展示了从所有D/EI对应的前3阶固有模态中选取的特定D/EI下正交加筋板前3阶固有振型。由图3可见，前两阶固有振型受D/EI 的影响甚微，而D/EI 的变化引起了第3阶固有振型的明显变化。当平板与梁二者的弯曲刚度相当或处于同一个量级，即当D/EI≤ 15 m−1时，正交加筋板的第3阶固有振型分布位置和形态都与平板振型存在显著不同，在分布位置上表现为中心振型明显大于周边振型，且相对板格有一定的错位分布，而在形态上则表现为相对于板类振型的畸变，如图3(i)和图3(j)所示；当D/EI ≥ 100 m−1时，这种相对板格的错位分布、不同位置的差别和形态的畸变逐渐减小，正交加筋板的第3阶固有振型逐渐趋近于平板的第3阶固有振型，如图3(i)所示。
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图 3 板梁弯曲刚度比对四边自由正交加筋板固有振型的影响Figure 3. Effect of plate-to-beam bending stiffness ratio on mode shapes of the first three orders of orthogonally stiffened plate with four free edges由此可知，在D/EI 不断增大的过程中，正交加筋板动力特性与D/EI的关系由一种变化规律（变化速率较大）逐渐转变成了另外一种变化规律（变化速率较小）。当D/EI ≤ 15 m−1时，平板与加强筋的弯曲刚度相当，正交加筋板的动力特性表现为强烈的板梁耦合动力特性。而当D/EI≥ 100 m−1时，平板弯曲刚度远大于加强筋的弯曲刚度，正交加筋板的动力特性由平板的动力特性所主导，加强筋的影响较小。
3.2 四边固支边界条件下板梁耦合动力特性分析
为了分析正交加筋板的边界条件对其板梁耦合动力特性的影响，针对四边固支的正交加筋板，同样计算了不同板梁弯曲刚度比D/EI对应的固有频率，如表3所示。正交加筋板前3阶固有频率随D/EI的变化规律以及变化速率如图4所示。
表 3 不同板梁弯曲刚度比对应的四边固支正交加筋板前3阶固有频率Table 3. Natural frequencies of the first three orders of orthogonally stiffened plate with four clamped edges corresponding to different plate-to-beam bending stiffness ratios板梁弯曲刚度比/m−1 m = n时的固有频率 第1阶 第2阶 第3阶 固有频率/Hz 变化速率/% 固有频率/Hz 变化速率/% 固有频率/Hz 变化速率/% 0.88 56.894 − 118.12 − 293.78 − 1.72 59.534 3.14 142.62 29.17 332.61 46.23 2.97 64.022 3.59 167.74 20.10 368.55 28.75 4.71 69.814 3.33 193.38 14.74 408.81 23.14 7.03 76.494 2.88 219.36 11.20 453.10 19.09 10.01 83.778 2.44 245.55 8.79 500.16 15.79 13.74 91.478 2.06 271.88 7.06 549.03 13.10 18.28 99.468 1.76 298.28 5.81 599.05 11.02 23.74 107.660 1.50 324.72 4.84 649.81 9.30 30.18 116.010 1.30 351.16 4.11 701.01 7.95 37.69 124.460 1.13 377.58 3.52 752.49 6.85 46.36 133.000 0.99 403.98 3.04 804.09 5.95 56.26 141.590 0.87 430.33 2.66 855.72 5.22 67.49 150.220 0.77 456.63 2.34 907.31 4.59 80.11 158.890 0.69 482.87 2.08 958.80 4.08 94.22 167.580 0.62 509.03 1.85 1 010.10 3.64 109.89 176.290 0.56 535.12 1.66 1 061.30 3.27 127.21 185.010 0.50 561.14 1.50 1 112.20 2.94 146.26 193.730 0.46 587.06 1.36 1 162.90 2.66 167.13 202.460 0.42 612.89 1.24 1 213.30 2.41 189.89 211.190 0.38 638.63 1.13 1 263.40 2.20 214.63 219.910 0.35 664.27 1.04 1 313.20 2.01 241.43 228.630 0.33 689.8 0.95 1 362.70 1.85 270.37 237.340 0.30 715.23 0.88 1 411.90 1.70 301.54 246.040 0.28 740.54 0.81 1 460.60 1.56 335.01 254.730 0.26 765.74 0.75 1 509.10 1.45 370.88 263.410 0.24 790.82 0.70 1 557.10 1.34 ![]()
图 4 板梁弯曲刚度比对四边固支正交加筋板固有频率的影响Figure 4. Effect of plate-to-beam bending stiffness ratios on natural frequencies of the first three orders of orthogonally stiffened plate with four clamped edges通过对比图4和图2可以发现，固支边界条件和自由边界条件下正交加筋板的前3阶固有频率数值有所不同，但其随板梁弯曲刚度比的变化规律十分相近。在正交加筋板的前3阶固有频率随板梁弯曲刚度比的变化速率方面，除了第1阶固有频率随板梁弯曲刚度比的变化速率明显减小，且在板梁弯曲刚度比较小时有一个先增大后减小的过程，其他方面并无显著不同。
特定板梁弯曲刚度比对应的四边固支正交加筋板前3阶固有振型如图5所示。从图中可以看出，同样是前两阶固有振型受板梁弯曲刚度比的变化影响很小，而第3阶固有振型随板梁弯曲刚度比的变化则表现出显著的不同。当平板弯曲刚度与梁的弯曲刚度相当或处于同一个量级时，正交加筋板的振型表现出梁振型和平板振型的叠加特征，以至于在加强筋所影响的区域内很难看到平板的振型，4个角点位置加强筋的影响较小，而呈现出板类振型，如图5(i)和图5(j)所示。随着平板弯曲刚度的增大，板类振型逐渐强化，而加强筋对板类振型的影响也逐渐降低，以至于当板梁弯曲刚度比较大时正交加筋板主要呈现出板类振型，如图5(i)所示。
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图 5 板梁弯曲刚度比对四边固支正交加筋板固有振型的影响Figure 5. Effect of plate-to-beam bending stiffness ratios on mode shapes of the first three orders of orthogonally stiffened plate with four clamped edges通过上述分析表明，对于第3阶固有振型，当平板弯曲刚度与梁的弯曲刚度相当时，梁的弯曲振动对平板的弯曲振动振型产生了明显影响，而当平板弯曲振型远大于梁的弯曲振型时，梁的弯曲振动对平板的弯曲振动振型影响甚微。
4. 结 论
本文以正交加筋板为研究对象，采用FEM分别计算了四边自由和四边固支边界条件下具有不同弯曲刚度比的正交加筋板模型的固有频率和振型。通过分析正交加筋板的固有频率和振型随加强筋与平板两构件间的弯曲刚度比的变化规律，探讨了正交加筋板中板梁构件的耦合动力特性。主要结论如下：
1）在板梁构件弯曲刚度变化过程中，正交加筋板主要表现为板类动力特性为主导及板梁耦合动力特性这两种形式。
2）在板梁构件弯曲刚度变化过程中，正交加筋板的两种动力特性转化是一个平稳过渡的过程，并分别给出了这两种情况下的临界板梁弯曲刚度比。
3）当平板和加强筋弯曲刚度在同一量级（D/EI ≤ 15 m−1）时，正交加筋板表现为平板和梁类动力特性的耦合动力特性；而当平板弯曲刚度远大于加强筋弯曲刚度（D/EI ≥ 100 m−1）时，正交加筋板表现为平板动力特性，加强筋的影响较小。
4）板梁耦合现象主要改变了固有频率随弯曲刚度比的变化速率，同时使正交加筋板振型相对于平板振型产生错位分布和形态畸变。
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图 1 单位尺度的正交加筋板数值计算模型示意图
Figure 1. Numerical model of unit-size orthogonally stiffened plates
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图 2 板梁弯曲刚度比对四边自由正交加筋板固有频率的影响
Figure 2. Effect of plate-to-beam bending stiffness ratio on natural frequencies of the first three orders of orthogonally stiffened plate with four free edges
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图 3 板梁弯曲刚度比对四边自由正交加筋板固有振型的影响
Figure 3. Effect of plate-to-beam bending stiffness ratio on mode shapes of the first three orders of orthogonally stiffened plate with four free edges
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图 4 板梁弯曲刚度比对四边固支正交加筋板固有频率的影响
Figure 4. Effect of plate-to-beam bending stiffness ratios on natural frequencies of the first three orders of orthogonally stiffened plate with four clamped edges
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图 5 板梁弯曲刚度比对四边固支正交加筋板固有振型的影响
Figure 5. Effect of plate-to-beam bending stiffness ratios on mode shapes of the first three orders of orthogonally stiffened plate with four clamped edges
表 1 正交加筋板固有频率与网格尺寸的对应关系
Table 1 Corresponding relationship between natural frequency of orthogonal stiffened plates and mesh size
网格属性 最大相对误差/% m = n时的固有频率/Hz 尺寸/m 数量 第1阶 第2阶 第3阶 第4阶 0.010 10 200 − 155.770 383.988 689.657 1 124.66 0.009 12 768 0.058 155.743 383.870 689.375 1 124.01 0.008 16 128 0.050 155.712 383.764 689.125 1 123.45 0.007 21 024 0.046 155.680 383.662 688.888 1 122.93 0.006 28 560 0.043 155.653 383.565 688.667 1 122.45 0.005 40 400 0.037 155.626 383.480 688.475 1 122.04 0.004 63 000 0.034 155.601 383.400 688.297 1 121.66 0.003 112 224 0.027 155.580 383.333 688.150 1 121.36 0.002 251 000 0.021 155.565 383.284 688.041 1 121.12 0.001 1 002 000 0.011 155.555 383.252 687.973 1 121.00 
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表 2 不同板梁弯曲刚度比对应的四边自由正交加筋板前3阶固有频率
Table 2 Natural frequencies of the first three orders of orthogonally stiffened plate with four free edges corresponding to different plate-to-beam bending stiffness ratios
板梁弯曲刚度比
/m−1m = n时的固有频率 第1阶 第2阶 第3阶 固有频率/Hz 变化速率% 固有频率/Hz 变化速率% 固有频率/Hz 变化速率/% 0.88 71.817 − 168.08 − 348.83 − 1.72 83.360 13.74 202.96 41.52 391.17 50.40 2.97 96.617 10.61 238.16 28.16 439.62 38.76 4.71 110.780 8.14 273.89 20.53 497.87 33.48 7.03 125.450 6.32 310.07 15.59 559.53 26.58 10.01 140.420 5.02 346.56 12.24 623.27 21.39 13.74 155.580 4.06 383.23 9.83 688.19 17.40 18.28 170.850 3.36 420.02 8.10 753.77 14.44 23.74 186.890 2.94 456.84 6.74 819.69 12.07 30.18 201.570 2.28 493.68 5.72 885.77 10.26 37.69 216.990 2.05 530.48 4.90 951.86 8.80 46.36 232.410 1.78 567.22 4.24 1017.90 7.62 56.26 247.830 1.56 603.89 3.70 1083.70 6.65 67.49 263.250 1.37 640.48 3.26 1149.40 5.85 80.11 278.660 1.22 676.96 2.89 1214.80 5.18 94.22 294.050 1.09 713.32 2.58 1279.90 4.61 109.89 309.420 0.98 749.57 2.31 1344.70 4.14 127.21 324.770 0.89 785.68 2.08 1409.10 3.72 146.26 340.090 0.80 821.66 1.89 1473.10 3.36 167.13 355.390 0.73 857.49 1.72 1536.80 3.05 189.89 370.650 0.67 893.18 1.57 1600.00 2.78 214.63 385.880 0.62 928.71 1.44 1662.80 2.54 241.43 401.080 0.57 964.08 1.32 1725.10 2.32 270.37 416.250 0.52 999.28 1.22 1787.00 2.14 301.54 431.380 0.49 1034.70 1.14 1848.50 1.97 335.01 446.470 0.45 1069.20 1.03 1909.40 1.82 370.88 461.520 0.42 1103.90 0.97 1969.80 1.68
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表 3 不同板梁弯曲刚度比对应的四边固支正交加筋板前3阶固有频率
Table 3 Natural frequencies of the first three orders of orthogonally stiffened plate with four clamped edges corresponding to different plate-to-beam bending stiffness ratios
板梁弯曲刚度比/m−1 m = n时的固有频率 第1阶 第2阶 第3阶 固有频率/Hz 变化速率/% 固有频率/Hz 变化速率/% 固有频率/Hz 变化速率/% 0.88 56.894 − 118.12 − 293.78 − 1.72 59.534 3.14 142.62 29.17 332.61 46.23 2.97 64.022 3.59 167.74 20.10 368.55 28.75 4.71 69.814 3.33 193.38 14.74 408.81 23.14 7.03 76.494 2.88 219.36 11.20 453.10 19.09 10.01 83.778 2.44 245.55 8.79 500.16 15.79 13.74 91.478 2.06 271.88 7.06 549.03 13.10 18.28 99.468 1.76 298.28 5.81 599.05 11.02 23.74 107.660 1.50 324.72 4.84 649.81 9.30 30.18 116.010 1.30 351.16 4.11 701.01 7.95 37.69 124.460 1.13 377.58 3.52 752.49 6.85 46.36 133.000 0.99 403.98 3.04 804.09 5.95 56.26 141.590 0.87 430.33 2.66 855.72 5.22 67.49 150.220 0.77 456.63 2.34 907.31 4.59 80.11 158.890 0.69 482.87 2.08 958.80 4.08 94.22 167.580 0.62 509.03 1.85 1 010.10 3.64 109.89 176.290 0.56 535.12 1.66 1 061.30 3.27 127.21 185.010 0.50 561.14 1.50 1 112.20 2.94 146.26 193.730 0.46 587.06 1.36 1 162.90 2.66 167.13 202.460 0.42 612.89 1.24 1 213.30 2.41 189.89 211.190 0.38 638.63 1.13 1 263.40 2.20 214.63 219.910 0.35 664.27 1.04 1 313.20 2.01 241.43 228.630 0.33 689.8 0.95 1 362.70 1.85 270.37 237.340 0.30 715.23 0.88 1 411.90 1.70 301.54 246.040 0.28 740.54 0.81 1 460.60 1.56 335.01 254.730 0.26 765.74 0.75 1 509.10 1.45 370.88 263.410 0.24 790.82 0.70 1 557.10 1.34
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