0.   引　言

舰船在服役期内执行任务时，容易受到水雷等水下武器的攻击，而攻击产生的非接触水下爆炸能够摧毁船舶结构，严重威胁舰船生命力^[1-2]。水下爆炸造成舰船毁伤的主要因素包括冲击波载荷和气泡载荷两大部分。首先，冲击波产生巨大压力使舰船结构受到破坏，峰值压力高达${10^6}$ Pa^[1]，作用时间短至毫秒量级，具有强间断性^[2]；其次，冲击波作用后产生的气泡脉动现象引起舰船结构坍塌和解体（张阿漫等^[3]在该领域进行了大量研究，对不同的经典气泡方程予以了统一）； 最后，舰船在冲击波和气泡的共同作用下丧失作战能力。因此，掌握非接触水下爆炸的作用机理能够提高舰船的实战能力。

针对非接触水下爆炸研究主要有实船水下爆炸试验、理论分析和数值模拟这3种途径。实船水下爆炸试验能直接表征待测物理量，可靠性最强，英美等海军强国实行“首制舰实船爆炸”考核制度。然而，实船水下爆炸试验会破坏海洋生态环境、成本巨大（即便是西方发达国家仍需联合开展实船水下爆炸试验），且试验过程的不可控、工况无法复现、操作难度大、缺乏切实可行的高精度测控技术，使得实船水下爆炸试验难以开展，而缩比试验也难以满足相似准则。数值模拟具有成本低、可实现不同工况、可全系统模拟等特点，因而受到工程技术人员的青睐。目前，我国航空母舰（以下简称“航母”）等大型水面舰艇仍未开展实船水下爆炸试验，并缺乏国外实船水下爆炸试验数据，因此数值模拟几乎成为了评估航母等大型舰艇抗爆抗冲击能力的唯一工具^[4]。

张阿漫等^[5]总结了水下爆炸对舰船结构损伤的特征，通过概括舰船水下爆炸试验、理论分析、数值方法3个方面的研究进展，归纳了基础研究中存在的问题。刘建湖等^[6]从舰艇抗爆抗冲击技术的现状和结构体系分析了我国缺乏的主要瓶颈技术，提出了提高舰艇抗爆抗冲击技术水平的建议。姚熊亮等^[7]通过研究水下爆炸条件下冲击波载荷沿燃气轮机结构的传递规律，认为等效力模型能够预测舰载燃气轮机的载荷传递情况。董九亭等^[8]采用数值方法分析得到了水下爆炸不同位置的冲击环境在舰船上的分布和衰减规律。陈岩武等^[9]针对不同工况下爆距和双层板间的水位对水下爆炸载荷作用，分析了这些作用对舰船双层底部结构毁伤情况的影响。但迄今非接触水下爆炸研究方向仍侧重于高精度数值模拟^[10-12]，不确定度量化（uncertainty quantification, UQ）结果极为罕见。

由于非接触水下爆炸是具有强间断性、跨尺度、高温、高压、强冲击载荷等特征的非线性复杂瞬态物理过程^[12-13]，使得建模与仿真（M&S）中不可避免地会使用假设、简化、近似技术，引入了大量不确定性因素。这些引入的不确定度会使M&S预测值与物理试验值之间存在较大偏差，导致决策者对M&S的预测能力心存疑虑^[14-15]。而UQ技术具有结合试验和数值模拟的优点，能够提高舰船非接触水下爆炸M&S的预测能力。

舰船非接触水下爆炸的M&S存在的不确定度数量庞大，类型呈现多样性，其中既包括材料自身所固有的、无法消除的偶然不确定度（与海况、工况、几何形状、边界条件、加工工艺及测量技术的不精确性密切相关），也包括由认知结构缺陷引起的、待完善知识储备后可以消除的认知不确定度，即认知不确定度和偶然不确定度同时存在。梁霄等^[13]使用自适应基函数多项式混沌方法研究了舰船非接触水下爆炸的偶然UQ，但针对舰船非接触水下爆炸的认知UQ研究未见报道。

在水下爆炸理论中，经验和半经验公式中的唯象参数属于典型的UQ。唯象参数无物理意义，纯粹是出于拟合数据的需要而提出。决策者一般通过工程经验对唯象参数赋值，给予其容许变化的范围。对于强非线性水下爆炸过程，若唯象参数的赋值不合理，会使系统响应量 （SRQ）摆动幅度过大，令决策者对M&S的预测能力产生疑虑。因此，认知不确定度研究的难点在于其无法通过试验予以直接标定，而间接试验数据样本容量稀疏，不易检验唯象参数服从何种概率分布，使得经典概率统计方法也不适合研究认知不确定度问题。认知UQ中常用的广义概率方法包括了鲁棒贝叶斯理论^[16]、区间描述^[17]、可能性理论^[18]等。而Dempster提出的D−S证据理论（Dempster−Shafer theory of evidence, DSTE）恰好能够提供实用和有效的认知不确定度的处理方法^[19-21]。DSTE理论所需的先验数据相比于概率推论理论中的更直观和更易获得，不必满足概率可加性，可融合不同学科专家（SME）或数据源的知识和数据，同时还能够在融合过程中保留直接表达“不确定”的信息。综上，因DSTE理论能够融合多个SME的唯象参数赋值区间，故成为了用于舰船非接触水下爆炸认知UQ研究的潜在和有效工具。

事实上，DSTE理论在国内外广泛用于专家系统、信息融合、人工智能等领域^[22]，但其缺陷在于SME的个人工程经验和认识水平导致的主观性，使得无法准确标定唯象参数的不确定度。因此，提高唯象参数标定范围的客观性是DSTE处理认知UQ中亟需解决的目标。首先，综合SME意见和健全评价机制一定程度上能够提高认知不确定度取值的客观性，但有时也会面对SME意见不一致甚至完全相左的困境。此外，融合和取舍不同SME的意见也是DSTE将面临的又一个挑战。其次，按照一定的规则，进一步增加被咨询的SME数量，实现信息扩容，通过全方位、多视角认识唯象参数，是提高不确定度取值客观性的重要途径。值得注意的是，SME的认知并非一成不变，而是与SME知识储备的增加、服务工况的变动等因素密切相关。记录SME对唯象参数在不同的场景和工况下的赋值，再采用周期性融合的方法量化认知不确定度，能够进一步提升DSTE的有效性、客观性和精确性。

非接触水下爆炸中偶然不确定度的特点是数量庞大。例如，在暗流和海浪的作用下，水雷等水下兵器的位置无法固定，产生不确定的斜距^[23]；炸药在生产过程中，限于加工工艺水平，无法完全提纯的杂质和结晶的随机性、间隙、扭结、空洞的存在会导致炸药密度的不确定度^[24]；舰船服役环境和结构构件的自然变化、测量仪器仪表精密度不足^[8,25]，以及测试信号的采集、传输、压缩和解码过程的不确定扰动、敏感元器件的响应力不足^[1,8]。上述这些因素均会导致非接触水下爆炸SRQ的不确定性问题。而蒙特卡罗（MC）方法使用直接，不需要假设，不受“维数灾难”问题的困扰，收敛速度不依赖于输入不确定度的维数，能够直接处理非线性多物理问题，故可以认为是系统在不确定意义下的精确解^[26]。因此，MC方法成为了处理高维和复杂的强非线性、非接触水下爆炸系统中偶然UQ问题的有效途径。

综上，认知不确定度和偶然不确定度同时存在于非接触水下爆炸系统，本文将使用概率和广义概率方法，通过综合处理偶然和认知不确定度，从而更精确地提高模型的可靠性和预测能力，分析不确定度在非接触水下爆炸下对舰船冲击响应量的影响，促进非接触水下爆炸软件的自主研发，解决国外水下爆炸程序模块对华禁售的卡脖子问题，提升我国水下兵器的毁伤威力和舰船抗爆抗冲击能力。

1.   D−S证据理论及非接触水下爆炸数学控制方程

1.1   D−S证据理论

设$\varTheta = {\left\{ {{\theta _1},{\theta _2}, ... ,{\theta _{{n}}}} \right\}_{}}$为识别框架，Θ中的子集θ_i（i=1, 2, ..., n）两两互斥，计算$\varTheta$中每个子集θ_i的信度过程被称为基本信度分配（basic belief assignment, BBA）。在$\varTheta$上的BBA是一个${2^\varTheta } \to \left[ {0,1} \right]$的函数m，也称其为BBA函数（BBAm），同时其满足$m\left(\varnothing \right) = 0$，且$\sum\limits_{A \subseteq \varTheta } {m(A) = 1}$^[27]。其中，使$m(A) > 0$的A称为焦元，反映了证据对事件A的信任程度。

似真函数反映事件A发生的概率上界，定义如下所示。

定义1：在$\varTheta$上基于BBAm的似真函数定义为

信度函数反映事件A发生的概率下界，定义如下所示。

定义2：在识别框架$\varTheta$上基于BBAm的信度函数定义为

在DSTE中，对于识别框架$\varTheta$中的某个假设事件A，根据BBA分别计算出关于该假设事件的信度函数$Bel(A)$和似真函数$Pl(A)$，两者组成的信任区间$[Bel(A),Pl(A)]$就表示对事件A的认知程度。

Dempster合成规则是DSTE的核心，其将来源不同的独立可信的证据予以融合，产生更可靠的新证据以辅助决策。对于$\forall A \subseteq \varTheta$，$\varTheta$上两个独立证据的BBA函数${m_1}$,${m_2}$的Dempster合成规则^[28]为

式中：K为冲突因子；B为m₁中的焦元；C为m₂中的焦元，且

其中，K反映了各个证据之间的冲突程度，K值越大，证据之间的冲突越大，若冲突过大会导致不合常理的结果。因此，K值只有处在一定范围内才能融合SME的意见。

1.2   数学物理模型

舰船非接触水下爆炸系统主要由3部分构成：首先是炸药爆炸产生的冲击波，其次是冲击波在水中传播和衰减，最后是冲击波与舰船的相互作用。非接触水下爆炸作用于舰船的物理过程极其复杂，目前仍然无法精确理解这一过程，导致模型简化和近似必不可少。为此，基本假设如下：

1) 不考虑海底反射激波对舰船的冲击；

2) 不考虑气泡脉动对舰船的毁伤；

3) 不考虑冲击载荷下舰船的层裂、破口和解体；

4) 不研究与起爆过程相关的不确定度，但会考虑与炸药相关的物理量的不确定度；

5) 由于大型舰船的船体较大，运行平稳，因此可近似视为水面上的一个质点，忽略体积。

美国科学家Cole利用海军丰富的试验和实战数据资源，推导出了压力p和冲击波到来后的时间t之间的函数关系式：

根据Cole公式^[29]，有

上式中：${p_{\rm{m}}}$为峰值压力；r为爆炸源到舰船的距离，即斜距；$\theta (r)$为衰减常数；${K_1},{K_2}, \alpha ,\beta$均为取值不确定的唯象参数；W为TNT炸药的质量。

由于衰减常数$\theta (r)$依赖工程经验取值，为进一步描述压力与时间和斜距的关系，引入Geers双指数函数公式^[30]

式中：$f(x)$为经验函数；$a,b,{a_1},{b_1}$也均为取值不确定的唯象参数。唯象参数的取值与工况、工程经验和装药特性密切相关。

根据Cole公式和Geers公式导出t时刻非接触水下爆炸的压力与时间和斜距的经验公式^[29-31]：

为评估非接触水下爆炸对舰船的影响，将弹簧装置置于舰船上，试验装置的受力分析如图1所示，其中上图来源于网络https://mil.ifeng.com。

图  1  实船水下爆炸（上）和试验装置受力分析（下）

Figure  1.  Underwater explosion on actual ship (upper) and force analysis of experimental setup (lower)

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爆炸引起的入射波在舰船−水交界面处被分解为穿透甲板的折射波和反射回水中的反射波。令入射波引起的压力及位移分别为${p_{\rm{n}}}\left( t \right)$和${u_{\rm{n}}}\left( t \right)$，反射波引起的压力及位移分别为${p_{\rm{r}}}\left( t \right)$和${u_{\rm{r}}}\left( t \right)$，透射波引起的压力为$p_{\mathrm{t}}\left(t\right)$。另有甲板外法线方向上的位移$x\left( t \right)$和甲板面密度s。根据牛顿运动定律，垂直于甲板的外法线方向有

根据波阵面相容关系^[28]，得到

式中：海水密度$\rho = 1\;027\;{{\mathrm{kg}}} /{{\mathrm{m}}^3}$；声速$c = 1\;493\;{{\mathrm{m}}} /{\mathrm{s}}$；${p_{\rm{n}}}\left( t \right)$由式（9）计算得出。

图1中，弹簧系统试验装置外法线方向在透射波的作用下产生简谐振动。令$y\left( t \right)$为弹簧系统试验装置在外法线方向的绝对位移，则在外法线方向的相对位移${\textit{z}}\left( t \right) = y\left( t \right) - x\left( t \right)$。

根据牛顿第二定律，有

式中：M为弹簧系统试验装置质量（弹簧质量可忽略不计）；$\mu$为弹簧刚度系数；k为阻尼系数。

因此，由式（10）～式（15）可得

式中：$\omega$表示弹簧系统的固有频率，且$2\beta ={\mu }/{M}$，${\omega ^2} = {k}/{M}$。

2.   舰船非接触水下爆炸中不确定度的来源及量化

2.1   不确定度的来源

鉴于非接触水下爆炸与舰船相互作用过程的复杂性，M&S中存在众多不确定性因素，包括可以通过试验标定的不确定的物理量（偶然不确定度）以及没有物理意义只能通过工程经验标定的唯象参数（认知不确定度）。工程试验数据结合概率统计方法，可计算得到偶然不确定度的期望与标准差，如表1所示。表中，$E\left( \xi \right)$为随机变量$\xi$的期望值，$std\left( \xi \right)$为$\xi$的标准差。

表  1  舰船非接触水下爆炸中的偶然不确定度

Table  1.  Aleatory uncertainty of ship subject to non-contact underwater explosion

符号	偶然不确定度	$E( \xi )$	$std( \xi )$
${\xi _1}$	斜距$r/{{\mathrm{m}}}$	10	$0.2$
${\xi _2}$	TNT炸药质量$W/{{\mathrm{kg}}}$	10	2
${\xi _3}$	甲板面密度$s/( {{{\mathrm{kg}}} \cdot {{\mathrm{m}}^{ - 2}}} )$	80	6
${\xi _4}$	试验装置质量$M/{{\mathrm{kg}}}$	1800	200
${\xi _5}$	弹簧刚度系数$\mu /( {{\mathrm{N}} \cdot {\mathrm{mm}}} )$	$1.8\times10^7$	$1.8 \times {10^5}$
${\xi _6}$	阻尼系数$k/( {{\mathrm{Ns}} \cdot {{\mathrm{m}}^{ - 1}}} )$	$52\ 000$	$200$
${\xi _7}$	海水密度$\rho /( {{\mathrm{kg}} \cdot {{\mathrm{m}}^{ - 3}}} )$	$1\;027$	$15$
${\xi _8}$	本地声速$c/( {{{\mathrm{m}}} \cdot {{{\mathrm{s}}} ^{ - 1}}} )$	$1\ 493$	$28$

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假设偶然不确定度${\xi }_{1}～{\xi }_{8}$服从对数正态分布$LN\left[ {\tau ,\sigma } \right]$的参数（其中，$\tau$为对数期望，$\sigma$为对数标准差）。对数正态分布既能严格保证物理量的非负性，又能通过K−S假设予以检验，符合物理量的统计规律。则有$\tau ,\sigma$的计算公式如下：

其中，偶然不确定度的期望与标准差由表1确定。对数正态概率分布的具体信息见表2。

表  2  偶然不确定度的对数正态概率分布

Table  2.  Lognormal probability distribution of aleatory uncertainty

符号	偶然不确定度	对数正态概率分布
${\xi _1}$	斜距$r/{{\mathrm{m}}}$	$LN\left[ {2.302,0.020} \right]$
${\xi _2}$	TNT炸药质量$W/{{\mathrm{kg}}}$	$LN\left[ {4.605,0.120} \right]$
${\xi _3}$	甲板面密度$s/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-2})$	$LN\left[ {4.379,0.078\;9} \right]$
${\xi _4}$	试验装置质量$M/{{\mathrm{kg}}}$	$LN\left[ {7.489\;4,0.111} \right]$
${\xi _5}$	弹簧刚度系数$\mu /( {{\mathrm{N}} \cdot {\mathrm{mm}}} )$	$LN\left[ {16.705,0.010} \right]$
${\xi _6}$	阻尼系数$k/( {{\mathrm{Ns}} \cdot {{\mathrm{m}}^{ - 1}}} )$	$LN\left[ {10.859,0.004} \right]$
${\xi _7}$	海水密度$\rho /( {{\mathrm{kg}} \cdot {{\mathrm{m}}^{ - 3}}} )$	$LN\left[ {6.934,0.003\;8} \right]$
${\xi _8}$	本地声速$c/( {{{\mathrm{m}}} \cdot {{{\mathrm{s}}} ^{ - 1}}} )$	$LN\left[ {7.308\;5,0.003\;5} \right]$

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2.2   认知不确定度的量化

在舰船非接触水下爆炸的M&S过程中，存在大量会影响模型预测能力的认知不确定度。以唯象参数${K_1}$为例，根据SME意见对${K_1}$的取值范围$[50,54]$进行划分及置信度的分配,再使用DSTE融合多个SME意见，确定${K_1}$更为精确的取值范围。

2.2.1   首次融合

设识别框架$\varTheta$为唯象参数${K_1}$取值范围$[50,54]$，SME A和SME B分别对该区间划分子区间并分配置信度（表3），其中，$m_{\mathrm{A}}$表示SME A构造的BBA函数，$m\mathrm{_B}$表示SME B构造的BBA函数。即SME A认为${K_1}$的取值落入子区间$[50,51]$的置信度为0.15，落入子区间$[51,52]$的置信度为0.45，落入子区间$[52,53]$的置信度为0.25，落入子区间$[53,54]$的置信度为0.15 。

表  3  首次融合基本信度分配子区间划分

Table  3.  Subinterval division of BBA for the first fusion

子区间	$m_{\mathrm{\mathrm{A}}}$	$m_{\mathrm{B}}$	$m_{\mathrm{AB}}$
$\left[50,51\right]$	0.15	0.15	0.0682
$\left[ {51,52} \right]$	0.45	0.55	0.7500
$\left[ {52,53} \right]$	0.25	0.15	0.1136
$\left[ {53,54} \right]$	0.15	0.15	0.0682

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由式（4）可计算出SME意见$m_{\mathrm{A}}$与SME意见$m_{\mathrm{B}}$间的冲突因子$K = 0.33$，因此二者可以融合。

利用式（3）所述Dempster合成规则融合$m\mathrm{_A}$与$m\mathrm{_B}$，其后得到的新的BBA函数$m\mathrm{_{AB}}$及其置信度见表3第4列。即首次融合后${K_1}$的取值落入子区间$[50,51]$的置信度为0.068 2，落入子区间$[51,52]$的置信度为0.7500，落入子区间$[52,53]$的置信度为0.1136，落入子区间$[53,54]$的置信度为0.068 2。融合后的BBA函数如图2所示。图中，横坐标表示唯象参数K₁的取值范围，纵坐标表示BBA函数值，即融合后K₁取值对应的置信度。

图  2  首次融合的基本信度分配函数

Figure  2.  BBA function of the first fusion

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由定义1可计算出首次融合后的累积似真函数（cumulative plausibility function, CPF）为

由定义2可计算出首次融合后的累积信度函数（cumulative belief function, CBF）为

式中，m_i表示融合后所得新BBA的焦元的置信度。基于此，得到首次融合SME意见的累积分布函数（cumulative distribution function, CDF），如图3所示。图中：横坐标表示唯象参数K₁的取值；纵坐标表示唯象参数 K ₁取值对应的CPF值和CBF值；红色实线为CPF值，表示首次融合之后${K_1}$的取值的概率上界；绿色实线为CBF值，表示首次融合后${K_1}$取值的概率下界。

图  3  首次融合的累积分布函数

Figure  3.  CDF of the first fusion

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结果表明，首次融合后得到的新的BBA与单个SME意见相比，子区间$[51,52]$的置信度增大，其他子区间的置信度均减小。此外，由表3可知，SME A与SME B对子区间$\left[ {50,51} \right]$和子区间$[53,54]$分配的置信度均一致，因此这两个子区间融合后的置信度也相等。

2.2.2   二次融合

为降低专家意见的主观性，邀请SME C对该区间进行划分和置信度的分配，如表4第2列所示，$m_{\mathrm{C}}$表示SME C构造的BBA函数。由式（4）计算出SME意见$m\mathrm{_{AB}}$与$m_{\mathrm{C}}$之间的冲突因子$K= 0.320\; 45$，三者可融合，再用式（3）将$m\mathrm{_C}$与首次融合后得到的新的BBA函数$m_{\mathrm{AB}}$进行二次融合，得到新的BBA函数$m\mathrm{_{ABC}}$，如表4第4列所示。

表  4  二次融合基本信度分配子区间划分

Table  4.  Subinterval division of BBA for the second fusion

子区间	$m_{\mathrm{C}}$	$m\mathrm{_{AB}}$	$m_{\mathrm{ABC}}$
$\left[ {50,51} \right]$	0.15	0.0682	0.0319
$\left[ {51,52} \right]$	0.35	0.7500	0.8191
$\left[ {52,53} \right]$	0.30	0.1136	0.1064
$\left[ {53,54} \right]$	0.20	0.0682	0.0426

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即二次融合后${K_1}$的取值落入子区间$[50,51]$的置信度为0.0319，落入子区间$[51,52]$的置信度为0.8191，落入子区间$[52,53]$的置信度为0.1064，落入子区间$[53,54]$的置信度为0.0426。二次融合后的BBA函数如图4所示。

图  4  二次融合的基本信度分配函数

Figure  4.  BBA function of the secondary fusion

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由定义1计算出二次融合的CPF为

由定义2计算出二次融合的CBF为

由此，得到二次融合SME意见的CDF函数，如图5所示。

图  5  二次融合的累积分布函数

Figure  5.  CDF of the secondary fusion

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由表4、图4与图5易知，前两次融合后，结果均显示对唯象参数${K_1}$取值落在子区间$[51,52]$的可能性最大。

在加入SME C构造的BBA进行二次融合后，3个SME构造的BBA融合后得到的新的BBA函数$m\mathrm{_{ABC}}$，且其子区间$[51,52]$的置信度继续增大，其他子区间的置信度均继续减小。但因SME C对子区间$[50,51]$分配的置信度相比对子区间$[53,54]$分配的置信度的小，故在二次融合后，子区间$[50,51]$的置信度减小得更快。将图3与图5进行对比可知，${K_1}$的信任区间在子区间$[51,52]$扩大，其他子区间缩小。

2.2.3   周期性融合

设识别框架$\varTheta$即为${K_1}$的取值范围$[50,54]$，事实上SME在不同工况、场景的认知程度和知识结构未必相同，使用多次记录SME意见方法，进一步增强专家意见的客观性。各个周期内SME A,SME B, SME C分别构造该周期内的BBA，并用矩阵表示该周期的BBA。则前两次融合的这段时间内，3个SME构造的BBA函数构成第1个周期。随着SME知识储备的增加、服务工况的变动引起的SME认知改变，SME对唯象参数${K_1}$的取值发生变化，记录3个SME对${K_1}$构造的新的BBA，构成第2个周期。同理，共构造3个这样的周期，则第1个周期的BBA函数用矩阵表示为

其中，矩阵第1行为SME A分配的BBA函数，第2行为SME B分配的BBA函数，第3行为SME C分配的BBA函数。

构造第2个周期的BBA矩阵为

构造第3个周期的BBA矩阵为

分别对3个周期的SME意见进行周期内融合，得到各周期融合后的BBA函数：$m_{\mathrm{ABC}_1}$, $m_{\mathrm{ABC}_2}$, $m_{\mathrm{ABC}_3}$。由式（4）可计算出3个周期$m_{\mathrm{ABC}_1}$, $m_{\mathrm{ABC}_2}$, $m_{\mathrm{ABC}_3}$的SME意见间的冲突因子$K=0.334\ 3$，三者可以融合，接着进行周期间的融合，最终得到周期性融合的BBA函数$m_{\mathrm{T}}$，见表5第5列。表5给出的是周期性融合所构造的BBA及融合后得到的新的BBA，对应得到融合后的BBA函数如图6所示。

表  5  周期性融合基本信度分配子区间划分

Table  5.  Subinterval division of BBA for the periodic fusion

子区间	$m_{\mathrm{ABC}_1}$	$m_{\mathrm{ABC}_2}$	$m_{\mathrm{ABC}_3}$	$m\mathrm{_T}$
$\left[ {50,51} \right]$	0.0319	0.0526	0.0336	0.0007
$\left[ {51,52} \right]$	0.8191	0.2044	0.0785	0.1589
$\left[ {52,53} \right]$	0.1064	0.7360	0.8879	0.8404
$\left[ {53,54} \right]$	0.0426	0.0070	0	0

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图  6  周期性融合的基本信度分配函数

Figure  6.  BBA function of the periodic fusion

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即周期性融合后${K_1}$的取值落入子区间$[50,51]$的置信度为$7 \times {10^{ - 4}}$，落入子区间$[51,52]$的置信度为0.1589，落入子区间$[52,53]$的置信度为0.840 4，落入子区间$[53,54]$的置信度为0。

由定义1计算出周期性融合的CPF为

由定义2计算出周期性融合的CBF为

由此，得到周期性融合SME意见的累积分布函数如图7所示。

图  7  周期性融合的累积分布函数

Figure  7.  CDF of the periodic fusion

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图3、图5及图7的CDF显示，不确定的唯象参数${K_1}$的CDF呈“阶梯状”，每段“阶梯”都直观表示了${K_1}$取值落在对应区间的累积概率的上下界。

由表5易知，使用周期性融合的方法，第1个周期融合后，${K_1}$的取值落在子区间$[51,52]$的可能性最大，而第2个周期和第3个周期融合的结果则显示${K_1}$的取值均最有可能落到子区间$[52,53]$。3个周期进行周期性融合后的最终结果仍显示，${K_1}$的取值最有可能落在子区间$[52,53]$，且周期性融合后的其他子区间的置信度与置信区间均趋向于0。由图6可见，子区间$[50,51]$的BBA几乎与0重合，而子区间$[53,54]$的BBA则已与0重合。经查看表5可容易知道，$m_{\mathrm{T}}\left(\left[50,51\right]\right)= 7\times10^{-4}$，$m\mathrm{_T}\left(\left[53,54\right]\right)=0$，与图6所示的结果相符。而图7显示CPF和CBF在子区间$[50,51]$几乎重合，在子区间$[53,54]$则已完全重合。

结果表明，周期性融合后，唯象参数${K_1}$在这两个子区间取值的概率趋近于0。因此，视唯象参数${K_1}$的取值范围缩小为更加精确的区间$[52,53]$。虽然${K_1}$的取值受认知不确定度的影响在第1个周期内最有可能落在子区间$[51,52]$内，但经过3个周期的周期性融合后，${K_1}$的取值得以修正，使得${K_1}$的取值最终最可能落入子区间$[52,53]$内。多周期融合对初始认知改动较大，符合预期。

3.   混合不确定度量化（UQ）结果

舰船非接触水下爆炸系统同时受到偶然不确定度和认知不确定度的影响，因此需要综合处理。本文使用双层循环法来实现舰船非接触水下爆炸混合UQ，亦即采用内、外双层抽样分别对两种不确定度的参数进行抽样。其中，外层循环使用拉丁超立方体抽样（LHS）方法对周期性融合方法处理过的认知不确定参数抽样，而内层循环则使用MC方法对偶然不确定参数抽样。LHS方法根据区间取值，处理认知不确定度更加有力。最后，根据双层抽样的结果计算SRQ更为精确的期望值，以此完成舰船非接触水下爆炸系统混合UQ，流程图如图8所示。

图  8  混合不确定度量化的流程图

Figure  8.  Flow chart of the mixed uncertainty quantification

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采用2.2.3节中的周期性融合方法处理舰船非接触水下爆炸数学物理模型中的其他7个唯象参数$a,b,{a_1},{b_1},{K_2},\alpha ,\beta$，得到其对应的形似图6的BBA图。从这些唯象参数的精确区间取值，令$a = 0.825$,$b = 0.17$,$a_1=1.3$,${b_1} = 0.18$,${K_2} = 0.91$,$\alpha = 1.13$, $\beta = - 0.18$。在$t = 6.859\;{{\mathrm{ms}}}$时刻，对数学物理模型中的偶然不确定度参数取随机值，采用MC方法计算10⁶个样本点下式（9）中的爆压p，并使用打点法计算${K_1}$取不同值时所对应的期望爆压p，以进一步得到爆压p的BBA，如图9所示。爆压p的CDF如图10所示。

图  9  爆压的基本信度分配函数

Figure  9.  BBA function of the detonation pressure

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图  10  爆压的累积分布函数

Figure  10.  CDF of the detonation pressure

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期望的爆压p分别以置信度$7 \times {10^{ - 4}}$落入区间${D_1} = \left[ {5.545\;2 ,5.596\;0 } \right]$，以置信度0.1589落入区间${D_2} = \left[ {5.596\;0 ,5.653\;7 } \right]$，以置信度0.8404落入区间${D_3} = \left[ {5.653\;7 ,5.708\;8 } \right]$，以置信度0落入区间$D= \left[5.708\; 8,5.764\; 1\right]$，则爆压p取值的置信区间为$D = \left[ {5.545\;2, 5.764\;1} \right]$。以上数值单位均为MPa。

从图10 中所示的CDF可知，期望的爆压p落入不同区间的边际概率分别为：

其中，似真函数与信度函数构成的信度区间反映了爆压p取值的精确概率范围。结果符合水下爆炸的认知，与文献[1,2,29]的SRQ取值量级和范围大致吻合。

同样，使用MC方法采取10⁶个样本点，对式（16）中的相对位移${\textit{z}}\left( t \right)$进行求解，取其结果的期望值得到对应的BBA如图11所示，CDF如图12所示。

图  11  相对位移的基本信度分配函数

Figure  11.  BBA function of the relative displacement

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图  12  相对位移的累积分布函数

Figure  12.  CDF of the relative displacement

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期望的相对位移${\textit{z}}\left( t \right)$分别以置信度$7 \times {10^{ - 4}}$落入区间${E_1} = \left[ {7.385\;0,7.407\;5} \right]$，以置信度0.1589落入区间${E_2} = \left[ {7.407 \;5,7.430 \;0} \right]$，以置信度0.8404落入区间${E_3} = \left[ {7.430\;0,7.452\;5} \right]$，以置信度0落入区间${E_4} = \left[ {7.452\;5,7.475\;0} \right]$，则相对位移${\textit{z}}\left( t \right)$取值的置信区间为$E = \left[ {7.385\;0,7.475\;0} \right]$。以上单位均为mm。

图12中的CDF的信度区间则反映了相对位移${\textit{z}}\left( t \right)$取值的精确概率范围，由图易知，相对位移${\textit{z}}\left( t \right)$的期望落入不同区间的边际概率分别为：

对$a,b,{a_1},{b_1},{K_2},\alpha ,\beta$这7个经周期性融合方法处理过的唯象参数进行定量取值，仅${K_1}$的取值变化。使用双层循环法并且对作为唯象参数的外层采用LHS法抽样，使样本点均匀地分布在${K_1}$的取值范围内，这不仅能够提高抽样效率，还可尽量避免抽样结果产生偏差。经抽样得到M个步长一定的认知不确定度样本$K_1^i（i=1,2,...,M）$，认知不确定度样本固定不变，再计算分析偶然不确定度这一维度的变化对SRQ的影响。进一步地，内层采用MC方法模拟计算10⁶个样本点下的SRQ，根据10⁶个计算结果求得外层固定的认知不确定度样本的期望值，从而进一步得到精确的SRQ取值。共计算得到M个期望的SRQ，选取${K_1}$每个子区间上样本点各自对应的期望最大和最小值，构成SRQ子区间的端点，从而得到SRQ的BBA。其中，固定除${K_1}$外的其他7个唯象参数的取值后，SRQ的期望值将随M个${K_1}$样本对应值的增长而呈线性增长，从而得到SRQ取值区间的左、右端点，即为${K_1}$取值区间左、右端点（M个样本中的最小和最大值）所对应的期望值。结果显示，因认知不确定度在外层影响SRQ的取值，故SRQ的子区间的置信度与${K_1}$对应子区间的置信度保持一致；又因${K_1}$经过采用周期性融合方法进行认知UQ后，取值精确度得以提高，故经过混合UQ后，SRQ的取值也更加精确，从而提升了模型的精确度。

4.   结论与展望

本文综合处理了舰船非接触水下爆炸M&S过程中不确定的唯象参数和不确定的物理量。使用DSTE理论处理无法通过试验标定的唯象参数。在专家系统中，SME的意见取决于SME个人的工程经验和知识结构，唯象参数容易受不可靠证据源的影响而无法准确标定；此外，SME的认知还会随着其知识储备的增加、应用场景和工况的变动而改变。鉴此，本文以舰船非接触水下爆炸数学物理模型中的唯象参数${K_1}$为例，记录了多名专家在不同时间、不同场景、不同工况下对唯象参数的取值，进一步使用周期性融合的方法融合SME意见。结果发现，采用上述方法缩短了唯象参数${K_1}$的取值范围，对SME的初始意见改动较大，唯象参数${K_1}$取值概率更加集中于认知UQ所得的精确区间。修正后的输出结果与文献[13]中${K_1}$的概率密度函数（PDF）分布情况相吻合，从而验证了使用多证据、多周期性融合方法可有效提升唯象参数取值的精确性，增强DSTE的客观性、可靠性。这表明研究所用的多证据、多周期性融合方法可推广到其他唯象参数。

对于认知不确定度和偶然不确定度同时存在的数学模型，本文采用了双层循环法予以处理，即使用更高效的LHS方法处理外层认知不确定度，而对于不确定的物理量内层则使用MC方法予以处理，即使增加维数也不会带来计算量呈指数爆炸的问题，避免了“维数灾难”。通过混合UQ得到舰船非接触水下爆炸模型SRQ的置信区间及其对应的BBA，并进一步结合目标SRQ的累积分布函数（CDF）的上界和下界来分析其置信区间，进而得到SRQ更为精确的取值区间。所得结果的量级和取值范围与前人研究结果吻合较好。

本文采用概率和广义概率方法对不确定的唯象参数和不确定的物理量进行综合UQ处理，来提升数学模型的可靠性和预测能力。该研究方法具有普适性，可推广到其他水下爆炸系统的研究中，可为精确评估输入不确定度对SRQ的影响提供判断依据，研究结果可用于指导舰船防护和水下兵器设计，提升舰船的抗爆抗冲击能力及水下兵器的毁伤威力。

事实上，在水下爆炸数值模拟过程中不确定因素有几十甚至上百个。逐个标定水下爆炸中的偶然不确定量并不是本文的目的，对于高维UQ及其面对的“维数灾难问题”以及降维问题将是下一步研究的目标。此外，增加对不同工况（例如近场、中场、远场）的计算能够更全面地对结果予以分析，但考虑到试验不同，所用经验公式完全不同，计算也就不尽相同。因此，未来计划将多工况和多认知不确定度耦合的DSTE结合考虑。

在舰船非接触水下爆炸体系中，爆炸源产生的能量不仅通过冲击波传播，还在冲击波作用后转化为高温高压的气泡，从而造成舰船的总体毁伤。气泡在惯性力和周围静水压力的作用下出现周期性的膨胀与收缩，形成剧烈的气泡脉动现象，直至破碎冲出水面，形成水冢摧毁周围的舰船。再者，气泡上升过程中上、下表面之间的明显压差会导致气泡产生一个自下而上的高速射流，使得舰船更容易被损毁甚至折断。因此，研究非接触水下爆炸中的气泡必不可少，但气泡脉动和冲击响应是两种完全不同的研究体系，故气泡脉动的UQ量化将是下一步研究对象。